من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، محدد مصفوفة متماثلة منحرفة يكتب دائما على شكل مربع لمتعددة حدود حدودها مداخل للمصفوفة A.[1] متعددة الحدود هذه، هي ما يسمى ببفافي المصفوفة A (بالإنجليزية: Pfaffian).
سمي هذا المفهوم هكذا نسبة إلى يوهان فريدريش بفاف.
أمثلة[عدل]
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf(A)} =a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24b2a8fee86f86f46413a09fca334c0e5dda4cc)
![{\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&a&b\\-a&0&c\\-b&-c&0\end{bmatrix}}.\qquad \operatorname {pf(B)} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6601948df72cba43a55f2de11fec54527b713d)
(3 is odd, so Pfaffian of B is 0)
![{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81699c87476cad783fefde4d3c775827b1e2760)
The Pfaffian of a 2n × 2n skew-symmetric tridiagonal matrix is given as
![{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a_{1}\\-a_{1}&0&b_{1}\\0&-b_{1}&0&a_{2}\\0&0&-a_{2}&\ddots &\ddots \\&&&\ddots &&b_{n-1}\\&&&&-b_{n-1}&0&a_{n}\\&&&&&-a_{n}&0\end{bmatrix}}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc31fe8af8d6cba967cb4f9705df92ecb38d35b)
which contains the important case of a 2n × 2n skew-symmetric matrix with 2 × 2 blocks on the
diagonal:
![{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e628d76edf9aabe072f8d1fd7d485f8d3ad61139)
(Note that any skew-symmetric matrix can be reduced to this form, see Spectral theory of a skew-symmetric matrix)
خصائص[عدل]
تطبيقات[عدل]
انظر أيضا[عدل]
مراجع[عدل]
وصلات خارجية[عدل]