نظام معادلات خطية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations) هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

%40+8700=%100

الشكل العام[عدل]

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

2. معادلات مصفوفة:

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

[1]

مجموعة الحلول[عدل]

مجموعة حلول المعادلتين xy = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

قراءة هندسية[عدل]

الشكل العام[عدل]

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص[عدل]

الاستقلالية[عدل]

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسق[عدل]

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

و غير متناسقتين.

التكافؤ[عدل]

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

و متكافئتان لأن .

حلحلة النظام الخطي[عدل]

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات[عدل]

تبسيط الصفوف[عدل]

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر[عدل]

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

تعطى بما يلي:

طرق أخرى[عدل]

طريقة الجمع[عدل]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

أي أن:

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

طريقة التعويض[عدل]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

نأخذ فنجد :

أي :

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

أي أن :

هكذا :

و

الأنظمة المتجانسة[عدل]

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

مجموعة الحلول[عدل]

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]