قاعدة كرامر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر (بالإنجليزية: Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات .[1][2][3] سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م. حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

الحالة العامة[عدل]

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو n × n وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

حيث المصفوفة حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهان[عدل]

مثال[عدل]

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

حيث

من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاص :

إذن

من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

ينبغي حساب محدد كما يلي :

بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسية[عدل]

لتكن مصفوفة A بُعداها هما n × n.

حيث يشير إلى المصفوفة المصاحبة لهذه المصفوفة وحيث هو محددها وI هي مصفوفة الوحدة.

إذا كان محدد المصفوفة A غير مساو للصفر، فإنها قابلة للعكس ومعكوستها تُحسب كما يلي:

تطبيقات[عدل]

تفسير هندسي[عدل]

براهين اخرى[عدل]

الحالات غير المتناسقة وغير المنتهية[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247. مؤرشف من الأصل (PDF) في 21 يوليو 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ David Poole (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. صفحة 276. ISBN 978-1-285-98283-0. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. ^ Levi-Civita, Tullio (1926). The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors). Dover. صفحات 111–112. ISBN 9780486634012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

وصلات خارجية[عدل]