دوال زائدية عكسية

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ في النقاط $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, حيث $\scriptstyle a$ تكون المساحة بين نصف المستقيم، وانعكاسه بالنسبة للمحور $\scriptstyle x$، والقطع الزائد.

تمثيل بياني للدوال الزائدية العكسية

الدوال الزائدية العكسية (ويطلق عليها أيضا اسم الدوال المساحية) هي الدوال العكسية للدوال الزائدية.

للحصول على قيمة معينة من دالة الزائدية، توفر الدالة الزائدية العكسية المقابلة الزاوية الزائدية المقابلة. حجم الزاوية الزائدية يساوي مساحة القطاع الزائدي المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1، أو ضعف مساحة القطاع المقابل لقطع زائد الوحدة الذي معادلته x² − y² = 1، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ضعف مساحة القطاع الدائري لدائرة الوحدة.

تدخل الدوال الزائدية ومعكوساتها في العديد من المعادلات التفاضلية الخطية، على سبيل المثال، معادلة السلسلي، بعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية وانتقال الحرارة وجريان الموائع والنسبية الخاصة .

التدوين

التدوين أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بنصفي مستقيم، مثال: arsinh ،arcosh.

يفضل مؤلفون آخرون استخدام التدوين (argsinh، وargcosh، وargtanh)، حيث البادئة arg- هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum التي تعني "عُمْدة"، هذا التدوين اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي، عمدة جيب تمام الزائدي، ... وهكذا.

في علوم الحاسوب، تُختصَر الدوال غالبًا باستخدام البادئة a-، مثل asinh.

العبارات اللوغاريتمية للدوال

د.ع للجيب الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ:

$\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

د.ع لجيب التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال :$[1,+\infty [$ بـ:

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

د.ع للظل الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-1,1[$ بـ:

$\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

د.ع لظل التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$ بـ:

$\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)$

د.ع للقاطع الزائدي

دالة معرفة على المجال $]0,1]$ بـ:

$\operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)$

د.ع لقاطع التمام الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:

$\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)$

إثبات

الطريقة 1

$\forall x\in [1,+\infty [\;:\;\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

نضع:

${\begin{aligned}y&=\operatorname {arcosh} (x);\quad x\geq 1\\x&=\operatorname {cosh} (y);\quad \ \ \ \ y\geq 0\end{aligned}}$

لدينا:

$\cosh(y)+\sinh(y)=e^{y}....(*)$

و

$\cosh ^{2}(y)-\sinh ^{2}(y)=1$

إذن :

$\sinh ^{2}(y)=\cosh ^{2}(y)-1$

ومنه:

${\begin{aligned}|\sinh(y)|&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;;\;y\geq 0\Rightarrow \sinh(y)\geq 0\\\sinh(y)&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\\(*)&:\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}=e^{y}\\\Rightarrow y&=\ln \left(\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

الطريقة 2

نعتبر دالة جيب التمام العكسية التالية : $y=\operatorname {arcosh} x$

بالتعريف:

$x=\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}$

$2x={e^{y}+e^{-y}}$

$e^{y}-2x+e^{-y}=0$

$e^{y}-2x+{\frac {1}{e^{y}}}=0$

$e^{2y}-2xe^{y}+1=0$

نضع $u=e^{y}$:

$u^{2}-2xu+1=0$

نحل المعادلة من الدرجة الثانية:

$u={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}$

$e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}$

$e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4(x^{2}-1)}}}{2}}$

$2e^{y}={2x\pm 2{\sqrt {x^{2}-1}}}$

$e^{y}={x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}$

ندخل اللوغاريتم الطبيعي الطرفين:

$\ln e^{y}=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

$y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

ومنه نستنتج أن:

$\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$

صيغ الإضافة

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$

$\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية

${\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}$

المشتقات

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}$

إثبات:

نضع على سبيل المثال θ = arsinh x (حيث sinh ² θ = (sinh θ) ²):

${\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

التكاملات

المقالة الرئيسة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية العكسية

$\int \operatorname {arsinh} (x)\,dx=x\operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C$

$\int \operatorname {arcosh} (x)\,dx=x\operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C$

$\int \operatorname {artanh} (x)\,dx=x\operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C$

$\int \operatorname {arcoth} (x)\,dx=x\operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C$

$\int \operatorname {arsech} (x)\,dx=x\operatorname {arsech} (x)-{2}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C$

$\int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C$

متسلسلات

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

انظر أيضًا

• دوال مثلثية عكسية