نظام معادلات خطية

نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات, نظام المعادلات الخطية هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

$\begin{alignat}{7} 3x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\ 2x &&\; - \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\ -x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 & \end{alignat}$

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حلحلة نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

$\begin{alignat}{2} x & = & 1 \\ y & = & -2 \\ z & = & -2 \end{alignat}$

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هاته القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

مثال بسيط

مجموعة المعادلات التالية:

$\begin{alignat}{5} 2x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 6 & \\ 4x &&\; + \;&& 9y &&\; = \;&& 15&. \end{alignat}$

وتكون المسألة هي إيجاد قيم للمتغيرات المجهولة x و y حيث تتحقق المعادلتان الاثنتان معا.

الشكل العام

$\begin{alignat}{7} a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\ a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\ a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\ \end{alignat}$

معادلات متجهات

$x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} + \cdots + x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}$

معادلات مصفوفات

$A\bold{x}=\bold{b}$

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \bold{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\quad \bold{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

• حسب المصفوفات غاوس,

[1]

• قاعدة كرامر, [2]
• طريقة التعويض.

مجموعة الحلول

مجموعة حلول المعادلتين x − y = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

الشكل العام

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

[[ميديا:]]== خصائص ==

الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

التناسق

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

$3x+2y=6$ و $\;\;\;\;3x+2y=12$ غير متناسقتين.

حلحلة النظام الخطي

قاعدة كرامر

مقال تفصيلي :قاعدة كرامر

انظر أيضا

• تبسيط الصفوف,
• المعادلات المترابطة.