ضرب المصفوفات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، يشير ضرب المصفوفات إلى عملية ضرب مصفوفة ما بعدد أو بمصفوفة أخرى.

ضرب المصفوفات العادي[عدل]

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين A وB فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت A من درجة m \times n، وB من درجة n \times p، وتكون مصفوفة حاصل الضرب C = A \cdot B من درجة m \times p. ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات n_{1} \times n_{2}، n_{2} \times n_{3} وn_{k-1} \times n_{k}، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة n_{1} \times n_{k}. من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتين.

في العملية C_{m \times q} = A_{m \times n} \cdot B_{n \times q} يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

c_{i,j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i,k} \cdot b_{k,j}.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب ، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :


  \overbrace{\begin{bmatrix}
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
     \color{Blue} a_{3,1} & \color{Blue} a_{3,2} & \color{Blue} a_{3,3} & \color{Blue} a_{3,4} \\
  \end{bmatrix}}^{A_{3\times 4}}
  \overbrace{\begin{bmatrix}
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{1,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{2,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{3,4} & \cdot \\
    \cdot & \cdot & \cdot & \color{Red} b_{4,4} & \cdot \\
  \end{bmatrix}}^{B_{4\times 5}}
=
\overbrace{\begin{bmatrix}
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & c_{3,4} & \cdot \\
\end{bmatrix}}^{C_{3\times 5}}

إذ يتحقّق:

c_{{\color{Blue} 3} , \color{Red} 4} = {\color{Blue} a_{3,1}} \cdot {\color{Red} b_{1,4}} + {\color{Blue} a_{3,2}} \cdot {\color{Red} b_{2,4}} + {\color{Blue} a_{3,3}} \cdot {\color{Red} b_{3,4}} + {\color{Blue} a_{3,4}} \cdot {\color{Red} b_{4,4}}

خواص الضرب العادي[عدل]

  • ليست عملية ضرب المصفوفات عملية تبديلية عمومًا، وإن كانت العملية التبديلية معرّفة. أي:
\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}.
  • أحد الاستثنائات بالنسبة للخاصة السابقة هي كون المصفوفتين قطريتين، إذ عندها تكون عملية الضرب تبديلية.
\mbox{det} \left(\mathbf{AB}\right) = \mbox{det} \left(\mathbf{BA} \right)
أي أنّ عمليّة حساب محدّد حاصل الضرب هي عملية تبديلية.
\left(\mathbf{AB}\right) \mathbf{C} = \mathbf{A} \left(\mathbf{BC} \right).
\mathbf{A} \left (\mathbf{B} + \mathbf{C} \right) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}،
\left (\mathbf{A} + \mathbf{B} \right) \mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}
c \left(\mathbf{AB}\right) = \left(c\mathbf{A}\right) \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}c\right) \mathbf{B} = \mathbf{A} \left(c \mathbf{B} \right) = \mathbf{A} \left(\mathbf{B} c\right) = \left(\mathbf{AB} \right) c.

أنظر أيضا[عدل]