استقلال خطي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الجبر الخطي، تدعى مجموعة من المتجهات مجموعة مستقلّة خطيًا إذا كان من المستحيل كتابة أيّ من المتجهات في المجموعة كتركيبة خطية من عدد نهائي من المتجهات الأخرى في المجموعة. إذا لم يتحقّق ذلك، تسمّى هذه المجموعة مجموعة تابعة خطيًا. لنأخذ على سبيل المثال أربعة متّجهات في الفضاء الشعاعي الحقيقي ثلاثي الأبعاد، \mathbb{R}^3:

\begin{matrix}
\mbox{independent}\qquad \qquad\\
\underbrace {
\overbrace {
\mathbf{v}_1= \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},
\mathbf{v}_2= \begin{bmatrix}
0 \\ 2 \\ -2
\end{bmatrix},
\mathbf{v}_3= \begin{bmatrix}
1 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix},}
\mathbf{v}_4= \begin{bmatrix}
4 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix}}\\
\mbox{dependent}
\end{matrix}

في هذا المثال، فإنّ المتجهات الثلاثة الأولى هي مستقلّة خطيًا، في حين مجموعة المتجهات الأربعة هي تابعة خطيًا (غير مستقلة). السبب يعود إلى إمكانيّة تكوين المتجه v_4 كالتالي:

\mathbf{v}_4 = 9\mathbf{v}_1+5\mathbf{v}_2+4\mathbf{v}_3

والحقيقة هي أنّ خاصّة التابعيّة الخطّية ليست خاصة لمتجه واحد دون غيره إنّما هي خاصّة لمجموعة المتجهات، بما معناه أنّه في مجموعة تابعة خطيًا، بالإمكان تكوين أي متجه من المجموعة بواسطة تركيبة خطية للمتجهات الأخرى. فعلى سبيل المثال، بالإمكان الحصول على المتجه v_1 كالتالي:

\mathbf{v}_1 = \left (-\frac{5}{9} \right)\mathbf{v}_2 + \left (-\frac{4}{9} \right)\mathbf{v}_3 + \left (\frac{1}{9} \right)\mathbf{v}_4

تعريف[عدل]

تدعى المجموعة الجزئية S=\left\{v_1,v_2,\dots,v_n\right\} في الفضاء المتجهي V تابعة خطيًا (أو غير مستقلّة) إذا وجدت n أعداد a_1,a_2, \dots ,a_n لا تساوي جميعها صفرًا تحقّق:

a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0

بحيث أنّ الصفر في الجهة اليمنى هو متجه الصفر وليس العدد صفر.

في حال عدم وجود مثل هذه الأعداد، تدعى المجموعة S مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا. بالإمكان نص تعريفًا مكافئًا كالتالي: لمجموعة متجهات مستقلة خطيًا، إذا وجدت مجموعة أعداد a_1,a_2, \dots ,a_n تحقّق:

a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0

فإنّ الحل الوحيد هو الحل التافه، أي a_i = 0 لكل i=1, \dots ,n. إذًا، تكون مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا إذا ما كان التمثيل الوحيد لمتجه الصفر كتركيبة خطية من المتجهات في المجموعة هو التمثيل التافه.

وتسمّى مجموعة متّجهات مستقلة خطيًا أساسًا خطيًا إذا ما كانت تستطيع لوحدها أن تولّد فضاء شعاعي معيّن. على سبيل المثال، فإنّ للفضاء الشعاعي المتمثل بكثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية أساسًا خطيًا لا نهائيًا وهو \left \{ 1,x,x^2, \dots \right \}.

تابع خطي لدوال[عدل]

مجموعة الدوال S=\left\{y_1(x),y_2(x),\dots,y_n(x)\right\} تسمى تابعة خطيًا (أو غير مستقلّة) في  [a,b] إذا وجدت n أعداد a_1,a_2, \dots ,a_n لا تساوي جميعها صفرًا تحقّق: a_1 y_1(x) + a_2 y_2(x) + \dots + a_n y_n(x) = 0

في حال عدم وجود مثل هذه الأعداد، تدعى مجموعة الدوال S مجموعة مستقلّة خطيًا.

مفهوم هندسي[عدل]

قد نصف موقع مكان ما بقولنا "إنّه يقع على بعد 3 كيلومترات شمالاً و4 كيلومترات شرقًا". وتكون هذه المعلومات كافية بغرض تحديد الموقع بالضبط، لأنّه بالإمكان تحديد الموقع في المستوى (إذا تغاضينا عن الارتفاع) بواسطة متجه ثنائي البعد. بالإمكان الإضافة بإنّه "يقع على بعد 5 كيلومترات باتجاه شمال-شرق"، ولكن بالرغم من كون هذا الادعاء صحيحًا (حسب قانون فيتاغورس)، فإنّه لا يضيف أية معلومات!

في المثال أعلاه، فإنّ "3 كيلومترات إلى الشمال" و"4 كيلومترات شرقًا" هي معلومات غير مرتبطة، أي مستقلّة، فلا يمكن أن يكتب الأول بواسطة الثاني، والعكس صحيح. أمّا المعلومة الأخيرة "5 كيلومترات باتجاه شمال-شرق" ما هي إلاّ تركيبة خطية من المتجهين الأوّلين، وتكون مجموعة ثلاث المتجهات تابعة خطيًا، أي أنّه بالإمكان الاستغناء عن إحداها (أيّ منها) لوصف الموقع.

وبشكل عام، فنحتاج إلى مجموعة n متجهات مستقلة لوصف أي موقع في فضاء ذي n أبعاد.

أمثلة[عدل]

مثال 1[عدل]

المتجهان (1 ,1) و(2 ,3-) في الفضاء الشعاعي R2 هما متجهان مستقلان خطيًا.

البرهان

لنفرض أنّ a_{1}, a_{2} هما عددان حقيقيان يحقّقان:

a_{1} (1,1) + a_{2} (-3,2) = \left(0,0 \right)

المعادلة أعلاه هي عبارة عن كتابة مختصرة لمعادلتين خطّيتين بمجهولين، والتي من الممكن الحصول عليها إذا أخذنا معادلة كل إحداثي على حدة:

a_1 - 3 a_2 = 0

 a_1 + 2 a_2 = 0

ويكون الحل الوحيد للمعادلتين هو: a_1 = 0, a_2 = 0، أي أنّ الحل التافه هو الحل الوحيد. فالاستنتاج هو أنّ المتجهين مستقلان خطيًا.

برهان آخر بواسطة المحددات

طريقة أخرى للبرهان تعتمد على حقيقة كون n متجهات في Rn تابعة خطيًا إذا وفقط إذا كانت المحدّدة التي تتكون عند ترتيب المتجهات كأعمدة في مصفوفة تساوي صفرًا.

في المثال أعلاه، تكون المصفوفة هي التالية:

M = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}. \,\!

المطلوب إيجاد متجه غير متّجه الصفر، والمكوّن من a_{1}, a_{2}، والذي يحقّق:

 \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}. \,\!

قيمة المحدّد للمصفوفة M تدلّنا على عدد الحلول الموجود للمعادلة. في هذه الحالة:

\det M = 1 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 = 5 \ne 0

بما أنّ محدد المصفوفة ليس صفرًا، هذا يعني أنّ هنالك حلّ وحيد لهيئة المعادلات. ولكن، بما أنّ الحل التافه a_1 = 0, a_2 = 0 يحل هيئة المعادلات، معنى الأمر أنّه الحل الوحيد. أي أنّ المتجهين الأصليين مستقلان خطيًا.

مثال 2[عدل]

ليكن V هو الفضاء المتجهي ذو n الأبعاد، \mathbb{R}^n. مجموعة المتجهات التالية في V هي مجموعة متجهات مستقلّة خطيًا:

\begin{matrix}
\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots,0) \\
\mathbf{e}_2 = (0,1,0,\ldots,0) \\
\vdots \\
\mathbf{e}_n = (0,0,0,\ldots,1)
\end{matrix}

البرهان

لنفرض n أعداد حقيقيّة، a_1, a_2, \ldots, a_n، تحقّق:

a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + a_n \mathbf{e}_n = 0

ولكن:

a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + \ldots + a_n \mathbf{e}_n = (a_1,a_2,\ldots,a_n)

أي أنّ ~a_i = 0~ لكل i يحقّق 1 \le i \le n.

مثال 3[عدل]

ليكن V فضاء المتجهات الذي يحوي جميع الدوال بمتغير حقيقي، t. إنّ الدالتين e^t وe^{2t} هما دالتان أو متجهان مستقلان خطيًا.

البرهان

لنفرض عددين حقيقيّن، a وb يحققّان:

a e^t + b e^{2t} = 0، لكل قيمة t.

لبرهان استقلالية الدالتين، يجب أن نثبت أنّ a = 0 وكذلك b = 0. لذلك، نقسم طرفي المعادلة على e^t (هذا ممكن لأنّ القيمة e^t موجبة دائمًا)، فنحصل على:

b e^t = -a.

المساواة بين الطرفين لكل قيمة t ممكنة فقط إذا كان b = 0، أي أنّ a = 0 كذلك.

مثال 4[عدل]

المتجهات الثلاثة التالية، التابعة لـ\mathbb{R}^4، هي تابعة خطيًا:

\begin{matrix}
\begin{bmatrix} 1\\4\\2\\-3\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} 7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix} -2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}.
\end{matrix}

البرهان

لنفرض ثلاثة أعداد، a_1, a_2, a_3 تحقّق:

\begin{matrix}
a_1 \begin{bmatrix} 1\\4\\2\\-3\end{bmatrix} +
a_2 \begin{bmatrix} 7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix} +
a_3 \begin{bmatrix} -2\\1\\5\\-4\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\end{bmatrix}.
\end{matrix}

هذا يعني تحقيق هيئة المعادلات التالية:

\begin{matrix}
\begin{matrix} a_1 \\ 4 a_1 \\ 2 a_1 \\ -3 a_1 \end{matrix}
& \begin{matrix} + \\ + \\ - \\ - \end{matrix}
& \begin{matrix} 7 a_2 \\ 10 a_2 \\ 4 a_2 \\ 1 a_2 \end{matrix}
& \begin{matrix} - \\ + \\ + \\ - \end{matrix}
& \begin{matrix} 2 a_3 \\ 1 a_3 \\ 5 a_3 \\ 4 a_3 \end{matrix}
& \begin{matrix} = \\ = \\ = \\ = \end{matrix}
& \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}
\end{matrix}

إذا قمنا بحل الهيئة، بحسب طريقة غاوس مثلاً، نخلص إلى أنّ:

\begin{matrix}
a_1 = -3 a_3 / 2 \\
a_2 = -a_3 / 2
\end{matrix}

بما معناه أنّه بالإمكان اختيار قيمة a_3 بشكل عشوائي، وإيجاد القيم المناسبة لـa_1 وa_2. معنى الأمر أنّه هنالك عدد لا نهائي من الحلول - أي أنّ هنالك حلولاً غير صفرية لهيئة المعادلات، والمتجهات الثلاث تابعة خطيًا.

انظر أيضًا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

ْْ