جبر خطي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
الفضاء الإقليدي الثلاثي الأبعاد R3 هو فضاء متجهي, والمستقيمات والمستويات المارة من نقطة المركز هي في حد ذاتها فضاءات متجهية جزئية في R3.

الجبر الخطي هو فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الفضاءات المتجهية (أَو الفضاءات الخطية) والتحويلات الخطية والنظم الخطية.

تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل الجبر الخطي كثيرا في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. للجبر الخطي أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية.

التاريخ[عدل]

انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حلحلة الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية كتطور في الجيوديسيا.

ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في انجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح Matrix (ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات بالمحددات.

مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحلحلة الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.

مجال الدراسة[عدل]

الفضاءات المتجهية[عدل]

تعتبر الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة V أُضيفت إليها عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي جمع المتجهات. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجهة ثالثة يُرمز إليها ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسيا ما a (أي عنصرا من F) و متجهة ما v وتعطي متجهة جديدة يُرمز إليها ب av. قد تسمى العملية الثانية جداءا عدديا أو ضربا عدديا للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).

تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.

الموضوعة المعنى
تجميعية الجمع u + (v + w) = (u + v) + w
تبادلية الجمع u + v = v + u
وجود العنصر المحايد في الجمع يوجد عنصر 0 ∈ V, يسمى المتجهة المنعدمة, حيث v + 0 = v مهما كان vV.
وجود العنصر المعاكس في الجمع مهما كان v ∈ V, يوجد عنصر −vV, يسمى معاكس جمعي v, حيث v + (−v) = 0
توزيعية ضرب عدد حقيقي في مجموع متجهات   a(u + v) = au + av
توزيعية ضرب مجموع عددين في متجهة ما (a + b)v = av + bv
التناسق بين الجداء القياسي و الجداء المعرف داخل الحقلF . a(bv) = (ab)v [nb 1]
العنصر المحايد في الجداء القياسي 1v = v, حيث 1 يشير إلى المطابق الجدائي في F.

قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون دوالا أو متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية[عدل]

إذا كانت v متجهة غير منعدمة وكانت Tv تساوي v مضروبة في عدد ما، فإن المسقيم المار من الصفر ومن v هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى v متجهة ذاتية ل T. العدد λ حيث Tv = λv يسمى قيمة ذاتية ل T.

من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:

Tv-\lambda v=(T-\lambda \text{Id})v=0,

حيث Id هي مصفوفة الوحدة. من أجل حلحلة هاته المعادلة، ينبغي حلحلة المعادلة det(T − λ Id) = 0. دالة المحدد هي متعددة حدود. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد λ ينتمي إلى المجموعة R. ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقول مغلقة جبريا، مجموعة الأعداد العقدية مثالا.

التحويلات الخطية[عدل]

 T:V\to W
 T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(av)=aT(v)

نظرية المصفوفات[عدل]

الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي[عدل]

بشكل رسمي، جداء داخلي هو تطبيق

 \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbf{F}

يحقق الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:

\langle u,v\rangle =\overline{\langle v,u\rangle}.

لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.

\langle au,v\rangle= a \langle u,v\rangle.
\langle u+v,w\rangle= \langle u,w\rangle+ \langle v,w\rangle.
  • كونها موجبة عند تساوي المدخلين:
\langle v,v\rangle \geq 0 مع تحقق التساوي فقط حين يساوي v صفرا.

تطبيقات[عدل]

حلحلة الأنظمة الخطية[عدل]

\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8 & \qquad (L_1) \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 & \qquad (L_2) \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 &  \qquad (L_3)
\end{alignat}

انظر إلى مصفوفة مثلثية.

مقدمة[عدل]

بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.

تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا.

يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها عبارة عن مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة عبارة عن قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا : (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).

وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي كمصطلح تجريدي فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم مايُدرس خلاله هو

  1. المتجهات في Rn وCn
  2. جبر المصفوفات
  3. المصفوفات المربعة
  4. البنى الجبرية
  5. الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية
  6. الترابط الخطي، القاعدة، البُعد
  7. التطبيقات
  8. التطبيقات الخطية
  9. فضاءات التطبيقات الخطية
  10. المصفوفات والتطبيقات الخطية
  11. تغيير القاعدة، والتشابه
  12. التعامد والتقطير
  13. الحدوديات فوق حقل
  14. الأشكال القانونية
  15. الداليات الخطية، والفضاءالثنوي
  16. الأشكال الخطانية(ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية
  17. المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي
  18. تطبيقات في الهندسة والحسبان

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

ٍٍ


وسوم <ref> موجودة لمجموعة اسمها "nb"، ولكن لم يتم العثور على وسم <references group="nb"/> أو هناك وسم </ref> ناقص