نظام خطي

الخطية صفة أو خاصية من الخاصيات الرياضية تطلق أو تنسب إلى النظم أو المعادلات التي تصفها.

التعريف الرياضي

يعتبر نظام ما خطيا أو دالة أو معادلة ما خطية إذا كانت هذه تستجيب للمواصفات التالية:

• إذا اعتبرنا:
  • $\mathcal {}f$ دالة رياضية أو معادلة أو نظام
  • $\mathcal {}x_1$ و$\mathcal {}x_2$ متغيران
  • $\mathcal {}a$ و$\mathcal {}b$ عددين حقيقين
• فإن $\mathcal {}f$ خطية إذا كان ما يلي:

$\mathcal {}f(ax_1+bx_2)=af(x_1)+bf(x_2)$

عمليات رياضية خطية

التكامل

يعتبر التكامل عملية خطية حيث أن:

$\int(ax_1dt+bx_2dt) = a\int x_1dt + b\int x_2dt$

التفاضل

يعتبر التفاضل عملية خطية حيث:

$\frac{d(ax_1+bx_2)}{dt}=a\frac{dx_1}{dt} + b\frac{dx_2}{dt}$

عمليات خطية أخرى

• تعتبر المصفوفات تحويلات خطية حيث أنه إذا اعتبرنا $\mathcal {}x_1$ و$\mathcal {}x_2$ متجهين و$\mathcal {}A$ مصفوفة و$\mathcal {}a$ و$\mathcal {}b$ عددين (scalars) فإن:

$\mathcal {}A(ax_1+bx_2)=aAx_1+bAx_2$

مواضيع متعلقة

• إخطاط أي linearization وهو تقريب نظام أو معادلة غير خطية والتعبير عنها بأخرى خطية
• مصفوفة جاكوبي هي عبارة عن نتيجة التفاضال إن كانت الدالة شعاعية
• مجموع تايلور وهو تقريب لدالة ما يكون نظريا إذا كان المجموع لا متناهي يساوي الدالة ذاتها
• تقليص درجة النظم