فضاء متجهي

الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي هو كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد, التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تؤخد الكميات القياسيات كأعداد حقيقية, ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة.

فعندما نعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع متجهات وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق لهذه العمليات، تجميعية هذه العمليات فإننا نصل لوصف كائن رياضي يُدعى فضاءً اتجاهياً.

المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فكثيرات الحدود من الرتبة ≤n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً على سبيل المثال.

يشكل الفضاء الاتجاهي كائناً رياضياً تجريدياً عظيم الفائدة في فروع الرياضيات الحديثة.

التعريف

افترض أن Ｆ هو حقل (مثل الأعداد الحقيقية، الأعداد العقدية) والذي عناصره تدعى كمية عددية. الفضاء الاتجاهي في الحقل Ｆ هو مجموعة V عُرفت عليها عمليتان ثنائيتان

• جمع الأشعة : v + w حيث v, w ∈ V
• ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي) : av حيث a ∈ F وv ∈ V
• جمع الأشعة هو عملية تجميعية: من أجل u, v, w ∈ V لدينا u + (v + w) = (u + v) + w
• جمع الأشعة هو عملية تبديلية: من أجل v, w ∈ V لدينا v + w = w + v.
• لعملية جمع الأشعة يوجد عنصر حيادي: يوجد عنصر 0 ∈ V يدعى الشعاع الصفري بحيث v + 0 = v من أجل جميع الأشعة v ∈ V.
• لعملية جمع الأشعة عنصر مقلوب: من أجل جميع الأشعة v ∈ V يوجد عنصر w ∈ V يدعى الشعاع العكسي بحيث v + w = 0.

• من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية (العددية) على جمع الأشعة: من أجل a ∈ F وv, w ∈ V لدينا a (v + w) = a v + a w.

• من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول: من أجل a, b ∈ F وv ∈ V لدينا (a + b) v = a v + b v.

• هناك عنصر حيادي لعملية الجداء السلمي: من أجل v ∈ V لدينا 1 v = v حيث 1 هو العنصر الحيادي لعملية الجداء في الحقل الشعاعي F.

انظر أيضا

• نظام إحداثي ديكارتي