فضاء متجهي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
جمع المتجهات والضرب في كمية قياسية: متجهة v (باللون الأزرق) أُضيفت إلى متجهة أخرى w (باللون الأحمر, في أعلى الشكل). أسفله, w ضُربت في معامل مساو ل 2, مما أعطى المجموع v + 2·w.

الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي هو كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد, التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات أعدادا حقيقية, ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى موضوعات جاءت أسفله. فضاء المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزيائية مختلفة كالقوى وغيرها.

فعندما نعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع متجهات وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق لهذه العمليات، تجميعية هذه العمليات فإننا نصل لوصف كائن رياضي يُدعى فضاءً اتجاهياً.

المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فكثيرات الحدود من الرتبة ≤n مع معاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً على سبيل المثال.

تدرس الفضاءات المتجهية في إطار الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي ببُعده. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى كالمعيار والجداء الداخلي.

تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار الهندسة التحليلية والمصفوفات والمعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال.

حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات والعلوم والهندسة، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور، ولتقنيات حلحلة المعادلات التفاضلية الجزئية. انظر أيضا إلى موتر ومتعدد شُعب وجبر تجريدي.

مقدمة وتعريف[عدل]

المثال الأول: الأسهم في المستوى[عدل]

المثال الثاني: أزواج مرتبة من الأعداد[عدل]

المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية x و y (الترتيب الذي جاءا فيه العددان x و y مهم. لهذا السبب سمي هذا الزوج بزوج مرتب).

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

و

(a (x, y) = (ax, ay.

تعريف[عدل]

فضاء متجهي معرف على حقل F هو مجموعة عُرفت عليها عمليتان ثنائيتان، تحققان الموضوعات الثمانية أسفله. عناصر F تسمى كميات قياسية أو كميات سُلمية أو كميات عددية. مثل الأعداد الحقيقية أوالأعداد العقدية. في هذا المقال مُيزت المتجهات عن الكميات القياسية بكون الأولى (أي المتجهات) مكتوبة بخط غليظ. كما جرت العادة أيضا، وخصوصا في الفيزياء برسم سهم أفقي فوق اسم المتجهة كما يلي : \vec v.

الموضوعة المعنى
تجميعية الجمع u + (v + w) = (u + v) + w
تبديلية الجمع u + v = v + u
العنصر المحايد للجمع يوجد عنصر 0V, يُدعى المتجه الصفري, حيث v + 0 = v من أجل جميع المتجهات vV.
العنصر المعاكس للجمع من أجل جميع المتجهات v ∈ V, يوجد عنصر −vV, يُدعى المعاكس الجمعي لv, حيث v + (−v) = 0
توزيعية الضرب في كمية قياسية (أو قد تُسمى عددا سُلميا) في جمع المتجهات    a(u + v) = au + av
توزيعية of scalar multiplication with respect to field الجمع (a + b)v = av + bv
Compatibility of scalar multiplication with field multiplication a(bv) = (ab)v [nb 1]
عنصر محايد لعملية الجداء السلمي 1v = v, حيث 1 يرمز إلى العنصر الحيادي لعملية الجداء في F.
  • ضرب قياسي (بعدد سلمي حقيقي) : av حيث aF وvV
  • من الممكن تنفيذ عملية توزيع جداء القيم السلمية على جمع الحقول: من أجل a, bF وvV لدينا (a + b) v = a v + b v.

التاريخ[عدل]

تنبثق الفضاءات المتجهية من الهندسة التآلفية، من خلال تقديم الإحداثيات في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حوالي عام 1636، أسس كل من ديكارت وفيرما الهندسة التحليلية، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من منحنى في المستوى من جهة ثانية.

عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس فضاءات الدوال من طرف هنري لوبيغ.

أمثلة[عدل]

فضاءات الإحداثيات[عدل]

الأعداد العقدية وامتدادات حقول أخرى[عدل]

مجموعة الأعداد العقدية تكون فضاء متجهيا.

انظر أيضا إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية

فضاءات الدوال[عدل]

(f + g)(w) = f(w) + g(w)

انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية.

المعادلات الخطية[عدل]

a + 3b + c = 0
4a + 2b + 2c = 0

القواعد والبُعد[عدل]

التطبيقات الخطية والمصفوفات[عدل]

المصفوفات[عدل]

شكل مبين لمصفوفة
\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)

حيث \sum تعني الجمع.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية[عدل]

فضاءات متجهية بُبنى إضافية[عدل]

فضاءات متجهية طوبولوجية[عدل]

فضاءات باناخ[عدل]

فضاءات هيلبرت[عدل]

تطبيقات[عدل]

التوزيعات[عدل]

تحليل فورييه[عدل]

الهندسة التفاضلية[عدل]

تعميمات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.


وسوم <ref> موجودة لمجموعة اسمها "nb"، ولكن لم يتم العثور على وسم <references group="nb"/> أو هناك وسم </ref> ناقص