قاعدة كرامر

في الجبر الخطي، قاعدة كرامر (بالإنجليزية: Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى جملة المعادلات الخطية) بدلالة المحددات . سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م. حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات . ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

الحالة العامة

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

$Ax=b$

حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو n × n وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }$ هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

حيث المصفوفة $A_{i}$ حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهان

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

$x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.$

${\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1}$

مثال

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

$-2x+2y-3z=2$

$-x+y+3z=1$

$2x-z=-1$

مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

$A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}$

أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

$b={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}}$

نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

$AX=b$

حيث

$X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاص :

$det(A)={\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}=-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&-1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+-3{\begin{vmatrix}-1&1\\2&0\end{vmatrix}}$

إذن

$det(A)=18$

من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

$A_{x}={\begin{bmatrix}2&2&-3\\1&1&3\\-1&0&-1\end{bmatrix}}$

ينبغي حساب محدد $A_{x}$ كما يلي : $det(A_{x})=-9$

$x={\frac {\det(A_{x})}{\det(A)}}=-9/18=-1/2$

بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسية

المقالة الرئيسة: مصفوفة قابلة للعكس § طرق عكس مصفوفة

لتكن مصفوفة A بُعداها هما n × n.

$A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I$

حيث $\operatorname {adj} A$ يشير إلى المصفوفة المصاحبة لهذه المصفوفة وحيث $\operatorname {det} (A)$ هو محددها وI هي مصفوفة الوحدة.

إذا كان محدد المصفوفة A غير مساو للصفر، فإنها قابلة للعكس ومعكوستها تُحسب كما يلي:

$A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).$

انظر أيضا

• مصفوفة