توزيع احتمالي طبيعي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

**التوزيع الطبيعي**
دالة الكثافة الاحتمالية الخط الأخضر يمثل التوزيع الاحتمالي الطبيعي الموسّط المختزل
دالة التوزيع التراكمي
المؤشرات	$μ$ موقع (عدد حقيقي) $σ 2 > 0$ مقياس تربيعي ( عدد حقيقي )
الدعم	$x \in ]-\infty;+\infty[ \!$
د۔ك۔ح۔	$\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!$
د۔ت۔ت	$\frac12 \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
المتوسط الحسابي	$μ$
الوسيط الحسابي	$μ$
المنوال	$μ$
التباين	$σ 2$
الميلان الإحصائي	0
الكورتوسيس	3 (حالة توزيع طبيعي) 0 (في حالة توزيع طبيعي موسّط ومختزل)
الاعتلاج	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
د۔م۔ع	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\sigma^2 \frac{t^2}{2}\right)$
الدالة المميزة	$\phi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

[عدل] التوزيع الطبيعي الموسّط المختزل

الدالّة $\varphi : \R \to \R^+$ بحيث $\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}$

هي دالة كثافة احتمالية : هي متواصلة وتكاملها على $\ \R$ يساوي 1.

فاننا نعلم أن $\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\ dt = \sqrt{2\, \pi}$ (تكامل غاوس).

ونبين أن (انظر التالي) التوزيع الذي يقع تحديده انطلاقا من دالة الكثافة هذه له قيمة متوقعة تساوى 0 وتباينا يساوي 0.

ملاحظات

الكثافة $\varphi$ نظيرة
يمكن اشتقاق هذه الدالة عددا لا متناهيا من المرّات وتحقق مهما كان $\ t \in \R$ المعادلة التالية $\varphi'(t) = - t\, \varphi(t)$ .

[عدل] التعريف

نسمي التوزيع الطبيعي (أو غاوسي) موسّط مختزل التوزيع المعرّف بدالة الكثافة $\varphi$ .

الرسم البياني لهذه الكثافة يمثل شكل جرس.

[عدل] دالة التوزيع التراكمي

لتكن $Φ$ دالة التوزيع التراكمي (Cumulative distribution function-Fonction de répartition) للتوزيع الموسّط المختزل. تحدد لكل عدد حقيقي x ب:

$\ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\, dt = \int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\, dt$ .

وهي تكامل $\varphi$ ونهايتها في $-\infty$ تساوي 0، ولا يمكن كتابتها باستعمال الدالات المعروفة (أس، جيب..) ولكن تصبح هي بنفسها دالة مستعملة بكثرة ومهمّة لكلّ من يمارس حساب الاحتمالات والإحصاء.