زمرة أبيلية حرة

في الجبر التجريدي الزمرة الأبيلية الحرة هي زمرة أبيلية ذات أساس basis (مجموعة جزئية من عناصر أساسية) بحيث أن كل عنصر من هذه الزمرة يمكن أن يكتب بطريقة وحيدة ووحيدة فقط كتركيب خطي من عناصر هذا الأساس باستخدام معاملات صحيحية. للزمر الأبيلية خصائص جميلة تجعلها مشابهة للفضاءات الاتجاهية.

مثال

لتكن G زمرة تكون المجموع المباشر $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ لنسختين من المجموعة الدورية $\mathbb{Z}$ بالشكل:

$G = \{ (a,b) | a,b \in \mathbb{Z} \}$.

أحد الأسس لهذه الزمرة هو {(1,0),(0,1)}. حيث إذا قلنا أن e₁ = (1,0) و e₂ = (0,1) عندها نستطيع أن نكتب العنصر (4,3) على الشكل:

(4,3) = 4e₁ + 3e₂.