انغلاق (رياضيات)

الانغلاق بالإنجليزية closure هو انتماء ناتج العملية الحسابية لنفس المجموعة التي ينتمى إليها العددين المجموعين أو المطروحين أو المضروبين أو المقسومين

مثال على الانغلاق

إذا كانت 1، 4 تنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية فإن 1 + 4 = 5 تنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية ط معنى ذلك أن كل عددين من نفس المجموعة ويكون ناتج جمعهما أو طرحمهما أو ضربهما أو قسمتهما ينتمى إلى نفس المجموعة هنا نقول أن هذه العملية منغلقة في المجموعة

تطبيق الإنغلاق في مجموعة الأعداد الطبيعية

الجمع

إذا كانت 4، 7 عددين طبيعيين فإن مجموعهما (4 + 7) = 11 تنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية معنى ذلك أن عملية الجمع مغلقة في ط

الطرح

إذا كان 4، 1 عددين طبيعين فإن طرحهما من بعضهما == 4 - 1 = 5 لكن يمكن أن نقول 1 - 4 == 5- لاتنتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية إذا عملية الطرح غير ممكنة دائما في ط ليست منغلقة ف ط لأن هناك نواتج منها لا تنتمى إليها

الضرب

إذا كان 6، 4 عددين طبيعين فإن حاصل ضربهما 4 × 6 = 24 إذا عملية الضرب منغلقة لأن كل نواتجها تنتمى إليها

القسمة

إذا كان 5، 10 عددين طبيعين فإن قسمتهما 10 ÷ 5 == 2 أو يمكن أن نقول 5 ÷ 10 == ½ لا ينتمى لمجموعة الأعداد الطبيعية إذا عملية القسمة غير ممكنة دائما في ط إذا هي غير منغلقة

نتيجة

في ط : - العمليات الحسابية التي يتزايد فيها الأعداد (الجمع والضرب) منغلقة في ط لأن ستتجه نحو الشمال الذي هو ذروة الأعداد الطبيعية مما سيبعدها عن الأعداد الأخرى

- العمليات الحسابية التي يتناقص فيها الأعداد (الطرح والقسمة) غير منغلقة في ط لأنها ستتجه نحو اليمين الذي هو الأعداد السالبة والكسور مما لا يمكنها من الإنغلاق

- قاعدة : إذا هناك عملية لها مسألة واحدة فقط لا تنتمى للمجموعة فإن العملية كلها تكون غير منغلقة

تطبيق الإنغلاق في مجموعةالأعداد الصحيحة

عملية الجمع

إذا كان 3-، 2 عددين صحيح فإن 3- + 2 = 1- تنتمى لمجموعة أعداد صحيحة إذا فإن عملية الجمع عملية ممكنة دائما مما يجعلها منغلقة

عملية الطرح

إذا كان 9، 7- عددين صحيحين فإن 9 - (7-) == 17 تنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة كذلك لو عكسنا العملية فإن (7-) - 9 == 17- ينتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة

عملية الضرب

إذا كان 6، 9- عددين صحيحين فإن 6 × (9-) = (54-) تنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة إذا عملية الطرح منغلقة في مجموعة الأعداد الصحيحة

عملية القسمة

إذا كان 2، 20- عددين صحيحين فإن (20-) ÷ 10 == 2- تنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة لكن 10 ÷ (20-) ==-½ لاتنتمى لمجموعة الأعداد الصحيحة إذا عملية القسمة عملية غير مغلقة في ص

نتيجة

- العمليات الإبدالية (الضرب والجمع) عمليات منغلقة في كل من ص، ط لذا فلا داع من إبدالها للتأكد من إنغلاقها

- عملية الطرح منغلقة في ص بينما ط لاتنغلق إليها

تطبيقات الإنغلاق في مجموعة الأعداد النسبية

مجموعة الأعداد النسبية ن هي كل عدد على صور أ\ب حيث أ، ب لا تساوى صفر وينتميان إلى ص كل الأعدا الصحيحة أعداد نسبية مقامها 1

عملية الجمع

عند جمع ¼ + ½ = ¾ تنتمى لمجموعة الأعداد النسبية إذا عملية الجمع منغلقة في ن

عملية الطرح

عند طرح ¾ - ½ = ¼ تنتمى لمجموعة الأعداد النسبية إذا عملية الطرح منغلقة في ن

عملية الضرب

عند ضرب ½ × ¼ فإن الناتج سينتمى لمجموعة الأعداد النسبية

عملية القسمة

عند قسمة ½ ÷ ¼ فإن الناتج سينتمى لمجموعة الأعداد النسبية

نتائج خاصية الإنغلاق في كل المجموعات

- الجمع والضرب منغلقين تماما في كل العمليات

- القسمة والطرح عمليات شاذة يمكن أن تكون منغلقة في عملية وغير منغلقة في أخرى

- كلما كثرت عناصر المجموعة كلما زادت فرصة انغلاق العمليات فيها فنجد أن في ط عملية الطرح غير منغلقة أما في ن نجدها منغلقة هذا الأمر يرجع إلى كثرة عناصر مجموعة ن عن ط