متتالية هندسية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مخطط يبين ثلاث متتاليات هندسية بسيطة على شكل 1(rn-1) إلى مستوى ستة حدود. العمود الأفقي الأول is a unit block and the dashed line represents the infinite sum للمتتالية, a number that it will forever approach but never touch: 2, 3/2, and 4/3, respectively.

في الرياضيات، المتتالية الهندسية هي متتالية أعداد كل حد (جملة) من حدودها بعد الأول يُحصل عليه بضرب الحد الذي قبله في عدد ثابت غير منعدم يدعى قدر النسبة[1] (ويعرف كذلك بالأساس والنسبة المشتركة).[2]

هكذا، يكون شكل متتالية هندسية ما على الشكل التالي:

a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

بينما يكون شكل المتسلسلة الهندسية كما يلي:

a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

تكون المتتالية الهندسية التي يخالف قدر نسبتها صفرا وواحدا وناقص واحد في نمو أسي (أو تحلل أسي)، بخلاف المتتالية الحسابية فنموها يكون خطيا.

الخصائص الأساسية[عدل]

لايجاد الحد النوني لمتتالية هندسية، تستعمل المعادلة التالية:

a_n = a\,r^{n-1}.

حيث a هي الحد الأول و r هي الفرق العام (يُغير الرمز هنا لتمييز المتتالية الهندسية عن الحسابية), و n هي عدد الحدود (أو الحد المطلوب). فيما يلي مثال :

المتتالية 3، 6، 12 ،24... هي متتالية هندسية حدها الأول هو a = 3, وأساسها هو r = 2 لأن قسمة حد ما على الحد الذي سبقه تعطي دائما اثنين (6 مقسومة على 3 تعطي 2، و 12 مقسومة على 6 تعطي 2 و 24 مقسومة على 12 تعطي 2، وهكذا). لايجاد الحد الخامس، على سبيل المثال (n = 5), تطبق المعادلة المعرفة أعلاه كما يلي:

a_5 = 3 * \,2^{5-1} = 3 * 16 = 48

إذن الحد الخامس يساوي 48.

المتسلسلات الهندسية[عدل]

المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتتالية الهندسية

\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,

المتسلسلات الهندسية غير المنتهية[عدل]

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}}
مخطط يبين المتسلسلة الهندسية 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... التي تؤول إلى 2.

الأعداد العقدية[عدل]

انظر إلى صيغة أويلر.

وجه التسمية[عدل]

نعتت المتتالية بالهندسية لأن كل حد من حدودها متوسط هندسي بين ما قبله وما بعده.

العلاقة مع الهندسة ومع عمل اقليدس[عدل]

عالج أقليدس في كتابي الأصول الثامن والتاسع المتتاليات الهندسية وعرف عددا من خواصها.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ محمد كريم خان الكرماني. رسالة كشف المجهول في علم الحساب واستخراج المجهولات العددية. ص. 4
  2. ^ الأول من اقتراض معنوي (ترجمة اقتراضية) من الفرنسية raison والثاني من الإنجليزية common ratio
Midori Extension.svg هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.