متتالية

متتالية غير منتهية من الأعداد الحقيقية (باللون الأزرق). هاته المتتالية ليست تصاعدية ولا تنازلية, وليست لها نهاية (أي أنها ليست متقاربة، إذن، هي متباعدة)، وليست هي بمتتالية كوشي. ولكنها محدودة.

المتتالية (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث المرتبة بنمط خطي حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محددا تماما ومميزا. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أو حدودها.

مثلا (أ، ب، ج) متتالية مختلفة عن (ب، ج، أ) والاختلاف أساسا هنا هو في ترتيب عناصر المتتالية. يمكن للمتتالية أن تكون منتهية كما هو الحال في المثال السابق أو غير منتهية مثل متتالية الأعداد الطبيعية : 1، 2، 3،...

يمكن أن تعتبر المتتالية أيضا دالة رياضية منطلقها مجموعة الأعداد الطبيعية ومستقرها مجموعة عناصر المتتالية : بمعنى أنها دالة تربط كل عنصر في مجموعة ما بترتيب معين يدل عليه عدد طبيعي : (f : N → X)

$f(n)=\left\{\begin{matrix} X0, & \mbox{if } n=0 \\ X1, & \mbox{if } n=1 \\ X2, & \mbox{if }n=2 \\ X3, & \mbox{if }n=3 \\ X4, & \mbox{if }n=4. \end{matrix}\right.$

بهذا نكون قد قمنا عن طريق الدالة بترتيب أعضاء المجموعة X حسب الترتيب X0,X1,X2...., حيث تدعى الأعداد 0، 1، 2،... دليل المتتالية.

أمثلة والرموز المستعملة

ليس هناك رموز محددة تستخدم لتمثيل حدود المتتالية, فقد تكتب متتالية ما على الصيغة (a1, a2, a3, … ), أو على الصيغة (b0, b1, b2, … ), أو (c0, c2, c4, … ). والرموز تبين ترتيب الحدود في المتتالية, الحد الأول a1, الحد الثاني a2 , الحد الثالث a3, ...

أنواع وخصائص المتتاليات

قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثا، وقد تكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة, وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).

متتالية جزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، حذفت منها بعض العناصر، بدون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6، ... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، .... في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية.

تُدعى متتالية ما جدائية إذا توفر (f(x * y) = f(x) * f(y حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما.

انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.

المتسلسلات

مقال تفصيلي :متسلسلة (رياضيات)

مجموع حدود متتالية هو متسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت (x₃, x₂, x₁, ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية (S₃, S₂, S₁, ...) حيث :

$S_n=x_1+x_2+\cdots + x_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i.$

$\sum\limits_{i=1}^\infty x_i.$

انظر أيضا

• المتتالية 1±
• متتالية حسابية
• متتالية هندسية
• متتالية كوشي
• تبديل
• علاقة متعدية
• فضاء المتتاليات
• أعداد متتالية