متسلسلة فورييه

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

متسلسلة فورييه تتيح كتابة أي دالة رياضية دورية في شكل متسلسلة أو مجموع من دوال الجيب وجيب التمام مضروب بمعامل معين.

يعزى اسمها إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه تقديرا لأعماله الفذة في المتسلسلات المثلثية.

تحويل فورييه[عدل]

تقريبات متسلسلة فورييه الأربعة الأولى لدالة دورية مربعة.

تحويل فورييه هو عملية رياضية تستخدم لتحويل الدوال الرياضية من مجال الزمن إلى مجال التردد. وهي مفيدة لتحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تتضمنها، كما أن لها تطبيقاً في حل المعادلات التفاضلية. واسم العملية مشتق من اسم العالم الفرنسي فوريي.
إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا w ترددا فإن تحويل فوريي الذي نرمز له هنا ب M هو تبسيطا دالة تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator (أي مثل الضرب والجمع والقسمة ولكنها أكثر تعقيدا حيث أنها عملية بين دالتين وليست عملية بين عددين) على كل فإن تأثير العملية مبين أسفله.
f(t)^{\rightarrow^{M}}_{\leftarrow_{m}}F(w)
و دالة التحويل M أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

M\left\{f(t)\right\}=F(w)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt
و كما يوجد تحويل فوريي فإنه يوجد تحويل فوريي معاكس رمزت له هنا ب m وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فورييه أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

صيغة فورييه للدوال الدورية ذات الدور 2π في صورة مثلثية[عدل]

بالنسبة للدالة الدورية (ƒ(x القابلة للتكامل على [−ππ]، الإعداد

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0

و

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1

يطلق عليها معاملات فورييه للدالة ƒ. أحدها يعطي المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه للدالة ƒ, يرمز لها عادة بـ

(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0.

المجاميع الجزئية لـ ƒ هي كثيرات حدود مثلثية. يتوقع المرء أن الدوال SN ƒ هي تقريبات للدالة ƒ، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب N من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]

اسم متسلسلة فورييه للدالة ƒ.

لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، x0 of x، فإن مجموع السلسلة عند x0 قد تختلف من قيمة ƒ(x0) للدالة.

مثال 1: متسلسلة فورييه بسيطة[عدل]

مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار
مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فورييه

باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، نفرض دالة سن المنشار

f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi <x <\pi,
f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for }   -\infty <x <\infty.

تكون معاملات فورييه هنا

\begin{align}
a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\
b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi n^2}\sin(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}

يمكن إثبات أن متسلسلة فورييه تتقارب إلى (ƒ(x عند كل نقطة x حيث ƒ قابلة للتفاضل، وبالتالي:


\begin{align}
f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\
&=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}.
\end{align}

 

 

 

 

(Eq.1)

نعنx = π، تقترب المتسلسلة من 0, وهذا نصف المجموع للنهاية اليسرى واليمنى للدالة ƒ عند x = π.

تحويل فورييه السريع[عدل]

تحويل فورييه السريع (Fast Fourier Transformation) خوارزمية تمكننا من حساب قيمة تحويل فورييه المتقطع بسرعة. سرعة هذه الخوارزمية تعود إلى أنها لا تقوم بحساب الأجزاء التي يساوي مجموعها صفرا في تحويل فورييه المتقطع. وتنسب الخوارزمية إلى جيمس كولي James W. Cooley وجون تيوكي John W. Tukey الذان قاما بنشر الخوارزمية سنة 1965 وذلك بالصيغة المعروفة اليوم، إلا أن العالم الألماني كارل فريدرش غاوس قام بصياغة خوارزمية شبيهة سنة 1805 واستعملها في حساب مجرى المذنبات بالاس وجونو. كما تم تطوير بعض الحالات الخاصة من الخوارزمية قبل اكتشاف توكي لها (من قبل غود سنة 1960).

تحويل فورييه المتقطع[عدل]

وهي طريقة حساب تحويل فورييه في الحواسيب.


التردد[عدل]

التردد هو مقياس لتكرار حدث ما في فترة زمنية ما، ووحدته الهيرتز، ويستخدم بشكل أساسي لقياس مقدار تكرار الموجات، فيكون تردد موجة 1 هيرتز يعني أنه في كل ثانية تمر موجة كاملة في نقطة ما هي نقطة القياس.