زمرة لي

في الرياضيات، زمرة لي (بالإنجليزية: Lie Group)‏ هي زمرة تكون أيضا متعددَ شُعبٍ قابلٍ للتفاضل، وحيث تكون عملية الزمرة متجانسة مع البنية الناعمة. سميت هذه الزمرة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات النرويجي سوفوس لي. ظهر مصطلح زمر لاي لأول مرة عام 1893. وكان ذلك باللغة الفرنسية من طرف أحد طلبة سوفوس لي اسمه أرثور تريس في الصفحة الثالثة من أطروحته.

نظرة عامة

زمرة لاي هي متعدد شعب (بالانجليزية: manifold) قابل للتفاضل (Differentiable) وسلس (بالانجليزية: smooth، متعدد الشعب السلس هو متعدد شعب جميع توابع الانتقال له هي دوال سلسة اي لها عدد مشتقات من جميع الرتب في كامل مجال الدالة) وكما يمكن دراسته بالحسبان التفاضلي (Differential Calculus).

تعريفات وأمثلة

زمرة لي حقيقية (بالانجليزية: Real Lie group) هي زمرة والتي هي ايضاً متعدد شعب سلس حقيقي نهائي البعد، حيث فيه عمليات الزمرة من الجمع والمعكوس هي دوال سلسة. سلاسة الضرب في الزمرة:

$\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

يعني ان $\mu$ هي دالة سلسة من ال product manifold $G\times G$ إلى $G$.

من أهم وأشهر الأمثلة لزمر لي والتي تظهر كثيرا في الفيزياء وخاصة فيزياء الجسيمات الأولية، هي زمرة لورينتز (Lorenz group) و هي عبارة عن مجموعة تحويلات لورينتز التي تترك الضرب القياسي في فضاء منكوسكي ثابتا وتماثل عمليات تدوير لمتجه رباعي على هذا الفضاء دون تغيير طوله وتنطبق عليها خواص الزمرة. مثال آخر هو زمرة بونكاري (Poincaré Group) ( نسبة لعالم الرياضيات الفرنسي هنري بونكاري ) و هي عبارة عن مجموعة التحويلات الإنزلاقية في فضاء منكوسكي.

التاريخ

بدايات ظهور بنية زمر لي كانت عندما لاحظ عالم الرياضيات النرويجي سوفيوس لي العلاقة الوثيقة بين هذا النوع من الزمر وحلول نظام من المعادلات التفاضلية، حيث تبين أن الحلول ( في هذه الحالة مصفوفات ) تنطبق عليها خواص الزمرة.

انظر أيضا

• متعدد شعب ريماني,

مراجع

• Adams، John Frank (1969)، Lectures on Lie Groups، Chicago Lectures in Mathematics، Chicago: Univ. of Chicago Press، ISBN:0-226-00527-5، MR:0252560.
• Borel، Armand (2001)، Essays in the history of Lie groups and algebraic groups، History of Mathematics، Providence, R.I.: مجتمع الرياضيات الأمريكي، ج. 21، ISBN:978-0-8218-0288-5، MR:1847105، مؤرشف من الأصل في 2020-03-28
• Bourbaki، Nicolas، Elements of mathematics: Lie groups and Lie algebras. Chapters 1–3 ISBN 3-540-64242-0, Chapters 4–6 ISBN 3-540-42650-7, Chapters 7–9 ISBN 3-540-43405-4
• Chevalley، Claude (1946)، Theory of Lie groups، Princeton: Princeton University Press، ISBN:0-691-04990-4.
• P. M. Cohn (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
• جوليان كوليدغ (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, مطبعة جامعة أكسفورد (Dover Publications 2003).
• قالب:Fulton-Harris
• Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, مطبعة جامعة كامبريدج ISBN 978-0-521-88400-6 .
• Hall، Brian C. (2015)، Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، Springer، ج. 222، ISBN:0-387-40122-9.
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 .
• Hawkins، Thomas (2000)، Emergence of the theory of Lie groups، Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences، Berlin, New York: سبرنجر، ISBN:978-0-387-98963-1، MR:1771134، مؤرشف من الأصل في 2020-03-28 Borel's review
• Helgason، Sigurdur (2001)، Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces، Graduate Studies in Mathematics، Providence, R.I.: مجتمع الرياضيات الأمريكي، ج. 34، ISBN:978-0-8218-2848-9، MR:1834454
• Knapp، Anthony W. (2002)، Lie Groups Beyond an Introduction، Progress in Mathematics (ط. 2nd)، Boston: Birkhäuser، ج. 140، ISBN:0-8176-4259-5.
• Nijenhuis, Albert (1959). "Review: Lie groups, by P. M. Cohn". Bulletin of the American Mathematical Society. ج. 65 ع. 6: 338–341. DOI:10.1090/s0002-9904-1959-10358-x. مؤرشف من الأصل في 2016-12-20.
• Rossmann، Wulf (2001)، Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups، Oxford Graduate Texts in Mathematics، Oxford University Press، ISBN:978-0-19-859683-7. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
• Sattinger، David H.؛ Weaver، O. L. (1986). Lie groups and algebras with applications to physics, geometry, and mechanics. Springer-Verlag. MR:0835009.
• Serre، Jean-Pierre (1965)، Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University، Lecture notes in mathematics، Springer، ج. 1500، ISBN:3-540-55008-9.
• Stillwell، John (2008). Naive Lie Theory. Springer.
• Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
• Warner، Frank W. (1983)، Foundations of differentiable manifolds and Lie groups، Graduate Texts in Mathematics، New York Berlin Heidelberg: سبرنجر، ج. 94، ISBN:978-0-387-90894-6، MR:0722297
• Steeb، Willi-Hans (2007)، Continuous Symmetries, Lie algebras, Differential Equations and Computer Algebra: second edition، World Scientific Publishing، ISBN:981-270-809-X، MR:2382250.
• Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010