هندسة ريمانية

الهندسة الريمانية هي الفرع من الهندسة التفاضلية الذي يدرس متعددات الشعب الريمانية ومتعددات الشعب الملساء المزودة بقياس متري ريماني، أي المزودة بجداء داخلي معرف على الفضاء المماس الذي يتغير بشكل أملس من نقطة إلى نقطة.

مقدمة

هي هندسة لاإقليدية تخرق مسلمة التوازي وتتعامل مع الفضاءات المنحنية

المبرهنات الكلاسيكية في الهندسة الريمانية

1. مبرهنة غاوس-بونيه (Gauss-Bonnet Theorem).

تكامل انحناء غاوس في متعدد شُعب ريماني ثنائي الأبعاد ومُدمج يساوي $2\pi \chi (M)$ حيث $\chi (M)$ تعني مميزة أويلر.

ويرى ريمان ان الخطوط المتوازية تلتقي دائما لعدم وجود خطوط مستقيمة في الكون المنحني .

2. مبرهنة هوبف-رينو (Hopf-Rinow Theorem)

تدرس هذه المبرهنة مفهوم " التكامل " في الفضاءات الريمانية.

3. مبرهنة التضمين لناش (Nash Embedding Theorem)

سميت نسبة الى عالم الرياضيات الشهير جون ناش , وتصف متددة الشعب الريمانية يمكن تضمينه ( Embedded ) بشكل متساوي القياس داخل فضاء اقليدي $\mathbb {R} ^{n}$ ذي بُعد أعلى كافئ .

4. مبرهنة بونيه-مايرز (Bonnet-Myers Theorem)

تربط هذه المبرهنة بين الانحناء الايجابي وحجم الفضاء , اذا كان انحناء ريتشي لمتعدد شعب ريمان متصل وكامل $\mathrm {M}$ اكبر من او يساوي مقداراً موجباً ثابتاً $\mathrm {M}$ يجب ان يكون مدمجاً وقطره محدوداً

انظر أيضا

• هندسة اهليليجية
• جيوديسي