ميكانيك هاملتوني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

مواضيع في الميكانيك الكلاسيكي
ميكانيكا كلاسيكية
$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ قانون نيوتن الثاني السكون أو الستاتيكا \| علم الحركة أو الكينماتيكا \| علم التحريك أو الديناميكا \|ميكانيك هاملتوني \| ميكانيك لاغرانج
مصطلحات رياضية
جسيم نقطي \| نظام إحداثي \| متجه \| جسم جاسيء Rigid Body \|
علم السكون
توازن ميكانيكي \| قيد ميكانيكي \| مبرهنة لامي Lami's theorem \| قص Shear \| توتر Stress \| شد أو إجهاد Strain
علم الحركة
حركة انتقالية \| حركة دورانية \| سرعة \| تسارع \| سرعة خطية \| سرعة زاوية \| تسارع خطي \| تسارع زاوي
علم التحريك
قوانين نيوتن الثلاثة للحركة \| طاقة حركية \| طاقة كامنة \| قوة \| متجه \| زخم أو كمية الحركة (الاندفاع) Momentum \| دفع القوة Impulse \| عزم Moment \| عطالة \| عزم العطالة \| عزم زاوي \| تصادم Collision \| سقوط حر \| ثقالة \| قذف (فيزياء)
قوانين الانحفاظ
انحفاظ المادة \| انفاظ القيمة \| انحفاظ الطاقة \| انحفاظ المادة-طاقة \| مبرهنة نويثر Noether's theorem \| معادلة الاستمرار Continuity equation \| لاتباين أو صمود Invariant

الميكانيك الهاميلتوني Hamiltonian mechanics هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي تم إيجاده من قبل ويليام روان هاميلتون عام 1833. نشأ ميكانيك هاميلتون من ميكانيك لاغرانج ، وهو صياغة أخرى للميكانيك الكلاسيكي أوجده جوزيف لويس لاغرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788. لكن بجميع الحوال يمكن استقاق ميكانيك هاملتون دون الرجوع لميكانيك لاغرانج باستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.

[عدل] إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج

اعتمادا على ميكانيك لاغرانج ، تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة

$\left\{\, q_j | j=1,...,N \,\right\}.$

والتي تطابق السرعات :

$\left\{\, \dot{q}_j | j=1,...,N \,\right\}.$

يمكن لنا كتابة اللاغرانجي

$L(q_j, \dot{q}_j, t),$

يهدف ميكانيك الهاميلتوني إلى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بالعزم المقترن أو المقابل (conjugate) :

من أجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المقترن الذي يكتب كما يلي :

$p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}.$

في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة إحداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي ، في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .

الهاميلتوني هو عبارة :

$H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t).$

إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t ، فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.

كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :

$\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt. \end{matrix}$

باستبدال التعريف السابق للعزم المقترن ضمن المعادلة ومطابقة معاملات المعدلة ، نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني

${\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}.$

معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى ، لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود إلى معادلات الحركة أكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة وميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني ، ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة إلى عزم مقترن ، لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم المقترن.

ميكانيك هاملتوني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

[عدل] إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج

معاينة

أدوات شخصية

الموسوعة

بحث

إبحار

المشاركة والمساعدة

صندوق الأدوات

بلغات أخرى