دالة تربيعية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة x و y و z بشكل حصريّ على الحدود x2 و y2 و z2 و xy و xz و yz و x و y و z و ثابت:

بالإضافة إلى أحد المعاملات a أو b أو c أو d أو e أو f للحدود ذات الدرجة الثانية، و يجب أن يكون أحدها على الأقل لا يساوي الصفر.

A كثير حدود تربيعيّ ذو جذرين حقيقيَّين (نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x) و بالتالي لا يوجد جذور عُقَدِيّة. بعض كثيرات الحدود التربيعيّة تمتلك قيماً صُغرى فوق المحور x، و في هذه الحالة لا يوجد للدالة جذور حقيقيّة و لكن يوجد لها جذرين عُقَدِيَّين.

يكون للدالةالتربيعيّة أحادية المتغير، يكون لها الشكل الآتي[1]

في حالة المتغير الواحد، يكون الرسم البياني بشكل قطع مكافئ يكون محور تناظره موازٍ للمحور y كما هو مُوضح في الشكل إلى اليسار. أيضاً تُدعى الدالة التربيعيّة فيما لو ساوَت الصفر المعادلة التربيعيّة. و تكون حلول هذه المعادلة أحاديّة المتغير جُذُور الدالة التربيعيّة أما في حالة الدالة ثنائية المتغيِّرات x و y، يكون للدالة الشكل الآتي

و يكون في هذه الحالة a أو b أو c على الأقل لا تساوي الصفر، و إن مُعادلة هذه الدالة، أي عندما تساوي هذه الدالة صفراً، فإن المعادلة ستعطي قطعاً مخروطيَّاً (دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد). عموماً، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات، و في هذه الحالة تُدعى السطوح الناتجة بالسطوح من الدرجة الثانية أو السطوح التربيعيّة، و لكن يجب أن تكون أعلى درجة هي الدرجة الثانية، كـ x2, xy, yz إلخ.

اشتقاق الاسم[عدل]

يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم (بالإنجليزية: Quadratic function) باللغة الإنجليزيّة، و تُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة quadrātum و التي تعني "بالعربية:  مُرَبَّع". كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز x2 و ذلك لأن بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.

المصطلح[عدل]

المعاملات[عدل]

تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، و لكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة.

الدرجة[عدل]

عند استخدام مصطلح "كثير حدود من الدرجة الثانية"، يقصد الكتاب أحياناً "أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً"، و أحياناً "أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر". و إذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها "حالة تدهور". و غالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.
أحياناً تُستخدم كلمة "المرتبة" بمعنى "درجة"، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية.

المتغيرات[عدل]

يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات).

حالة متغير واحد[عدل]

قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي

حيث x هو المتغيِّر، و aو b و c تُمثِّل المعاملات. و في الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية و تُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، و قد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً.

حالة متغيران[عدل]

قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي

حيث x و y متغيِّرات، بينما a و b و c و d و e و f معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة f (x, y) إلى الصفر. و بشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة و السطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.

أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد[عدل]

يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ:[2]

  • يُدعى الشكل المعياريّ
  • يُدعى الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)، حيث r1 و r2 جذور للدالة التربيعيّة و حلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.
  • يُدعى الشكل المُتَّجِهيّ h و kو x و y هي إحداثيّات المتجه على التوالي.

للمعامل a القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. و للتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين r1 و r2. و للتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. و للتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.

رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير[عدل]

بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). و بالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات .

  • إذا كان a > 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى
  • إذا كان a < 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل

يتحكَّم المعامل a بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة a يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً. يتحكَّم المعاملان b و a معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات x لذروة المنحني) و الذي

بينما يتحكَّم المعامل c بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y.

الذروة[عدل]

تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. و إذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي (h, k). و يمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ

إلى الشكل

لذا تكون ذروة القطع المكافئ (h, k) في الشكل المعياريّ

و إذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله)

فإن فإن متوسط الجذرين

هو إحداثية x الموافقة لذروة القطع، و تكون إحداثيات الذروة (h, k)

كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت a < 0 أو أصغر نقطة إذا كانت a > 0 و إن الخط العمدي التالي

و الذي يم من الذروة هو أيضاً محور تناظر القطع المكافئ.

القيمتين الكبرى و الصغرى[عدل]

باستخدام التفاضل و التكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة و التمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، و ذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق:

x هي جذر f '(x) إذا كانت f '(x) = 0 و بالتالي

و بالتعويض في الدالة نجد

و بالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة (h, k) بالصيغة

جذور الدالة وحيدة المتغير[عدل]

رسم بياني لكثير الحدود y = ax2 + bx + c, حيث a و b2 ? 4ac موجب, و
  • الجذور و y-مشار إليها بـالأحمر
  • الذروة و محور التناظر مُشارٌ إليهما بـالأزرق
  • البؤرة و المِحرَق مُشار إليهما بـالوردي
تصوُّر الجذور العُقَدِيّة لِـ y = ax2 + bx + c: تم تدوير القطع المكافئ 180° حول ذروته باللون البرتقالي). مُقابلاته من x-intercepts دُوِّرَت 90° حول نقاطها المتوسطة، و يُفسَّر حينها المستوى الديكارتي كمستوى معقَّد.(أخضر).[3]

الجذور[عدل]

إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر r1 و r2

هي قيم x التي تجعل f(x) = 0. و عندما تكون المعاملات a و b و c أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور

الحد الأعلى لحد الجذور[عدل]

لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) أن تكون أكبر من حيث النسبة الذهبيّة و هي [4]

الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير[عدل]

يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد. إذا كانت فإن المعادلة تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور y) من القطع المكافئ المقابل . إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً. إذا كانت فإن المعادلة تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، و لكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.

التكرار[عدل]

لتكرار دالة يتم تطبيق الدالة مراراً و تكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي. لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ و الذي يعني أن nth تكراراً لِـ.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس إذا كان العكس موجوداً) و لكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق. على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية

و عندما يكون

حيث

and

و بالاستقراء نجد

يمكن الحصول عليه، حيث يمكن حسابه بسهولة كـ

أخيراً لدينا

و هو الحل. يمكن حل المتتالية اللوجستية

بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة و إحداها ليست. في الحالات الفوضويّة r=4 الحل هو

حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية بواسطة . و لقيمة عقلانية لِـ، بعد عدد منتهي من التكرارات متتالية إلى سلسلة دوريّة. و لكن تقريباً جميع غير منطقيّة، و من أجل منطقية لا تُكرِّر نفسها أبداً، و هي غير دوريّة و تعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة. حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون r=2 الحل:
من أجل . و إذا لأي قيمة من ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح يسعى إلى 0 كما تسعى n إلى اللانهاية، لذا فإن تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة.

دالة تربيعية ثنائية المتغيرات[عدل]

يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل

حيث A و B و C و D و E معاملات ثابتة و F حدٌ ثابت. تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). و إن الإعداد يُعادل الصفر و يصف تقاطع السطح مع المستوى ، و هو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص.

النقاط الصغرى و الكبرى[عدل]

إذا كانت فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، و رسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي إذا كانت فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان A>0 و قيمة كبرى إذا كان A<0، و يكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند حيث:

و إذا كانت و لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، و يكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة. إذا كانت و فإن الدالة تحقق قيم صغرى و كبرى عند حد أدنى إذا كانت A>0 و أعلى إذا كانت A<0، و يكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ "Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld". اطلع عليه بتاريخ January 6, 2013. 
  2. ^ Hughes-Hallett، Deborah؛ Connally، Eric؛ McCallum، William G. (2007)، College Algebra، John Wiley & Sons Inc.، صفحة 205، ISBN 9780471271758 , Search result
  3. ^ "Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts". اطلع عليه بتاريخ 01 أكتوبر 2016. 
  4. ^ Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

وصلات خارجية[عدل]