شبه منحرف متساوي الساقين

شبه منحرف متساوي الساقين
شبه منحرف متساوي الساقين (بالأزرق)، مع محور تناظر (بالأسود المنقَّط)
النوع	رباعي أضلاع، شبه منحرف
الأضلاع والرؤوس	4
زمرة التناظر	ثنائية الوجه، [ ]، (*)، الدرجة 2
الخواص	مُحدَّب، دائري
الثنوي	الحَدَأة

في الهندسة الإقليدية، شبه المُنحرِف متساوي الساقين (الإنجليزية: isosceles trapezoid) رباعي أضلاع مُحدَّب له محور تناظر يُنصِّف زوجين متقابلين متوازيين من أضلاعه، يُسميان القاعدتين، وهو حالة خاصة من شبه المنحرف لأن الضلعين غير المتوازيين فيه، واللذين يُسمَّيان ساقان، متساويا الطول.

قطرا شبه المُنحرف متساوي الساقين متساويا الطول، وتكون الزاويتان الواقعتان على القاعدة الكبرى حادتان ومتساويتا المقاس، والواقعتان على القاعدة الصغرى، منفرجتان ومتساويتا المقاس وتُكمِّل كل منهما الزاوية الحادة التي تشترك معها بالساق.

الشرط اللازم والكافي ليكون أيُّ رباعي أضلاع شبهَ منحرف متساوي الساقين ليس تساوي طول ساقيه، بل وجود محور تناظر يُنصف ضلعين متوازيين فيه. يستوفي المستطيل والمُربَّع هذا الشرط، وهما بالتالي حالتان خاصتان من شبه المنحرف متساوي الساقين، أما متوازي الأضلاع والمعين فليسا كذلك.

ثنوي شبه المنحرِف متساوي الساقين هو الحَدَأة.

التعريف

شبه المنحرف متساوي الساقين: زاويتان حادتان متساويتا المقاس (بالأخضر)، وزوايتان منفرجتان متساويتا المقاس (بالأحمر)، القاعدتان: ضلعان متقابلان متوازيان (بالأخضر والأحمر)، الساقان: ضلعان متقابلان متساويا الطول (بالأزرق).

شبه المنحرِف متساوي الساقين رباعي أضلاع فيه ضلعين متوازيين متقابلين يُسميان القاعدتين، إن اختلف طولهما وصفتا بالكبرى والصغرى، وله محور تناظر يُنصِّف هذين القاعدتين، وفيه أيضًا ضلعين غير متوازيين متقابلين يُسميان الساقان، وهما متساويا الطول، ومنهما حصل هذا الرباعي على اسمه.

يُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق شبه المنحرِف بأنه: شكلٌ رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان وطولاهما مختلفان. ويُعرِّف شبه المُنحرِف متساوي الساقين بأنه: "شبه مُنحرِف ضلعاه غير المتوازيين متساويان". أما موسوعة الكويت العلمية فتذكر أن: "شبه المنحرف شكل مستوٍ له أربعة أضلاع، اثنان منهما متوازياتـ وغالبًا يشترط أن لا يكون الضلعان الآخران متوازيين،" ويُذكر في تعريف شبه المنحرِف متساوي الساقين بأنه شبه منحرف تساوى طولا الضلعين غير المتوازيين فيه.

يُعرِّف معجم أكسفورد للرياضيات شبه المنحرِف متساوي الساقين بأنه شبه منحرفٍ يكون فيه الضلعان المتقابلان غير المتوازيان متساويا الطول. لشبه المنحرف هذا محور تناظر واحد وقطراه متساويا الطول.

من تعاريف متوازي شبه المنحرف متساوي الساقين أيضًا: شبه مُنحرِف حاد الزاوية زاويتاه الحداتان متساويتا المقاس أو ساقاه متساويا الطول.

التصنيف

تصنيف رباعيات الأضلاع بمخطط هاسه، شبه المنحرف متساوي الساقين في وسط الصورة.

شبه المنحرِف متساوي الساقين رباعي أضلاع بسيط مُحدَّب دائري غير مُنحرف، أي ضلعان من أضلاعه المتقابلة متوازيان، والضلعان الآخران متساويا الطول. بالإضافة لكل ذلك، فإن لشبه المنحرف متساوي الساقين محور تناظر يُنصِّف الضلعين المتوازيين، لذلك لا يُصنَّف فإن متوازي الأضلاع الرباعي والمُعيَّن بأنهما شبه منحرف متساوي الساقين، مع أنهما يُصنفان بأنهما حالة خاصة من شبه المنحرف. أما المستطيل والمُربَّع فيستوفيان هذا الشرط، وهما حالة خاصة من شبه المنحرِف متساوي الساقين.

يمين: شبه منحرف متساوي الساقين، وسط: شبه منحرف تقاطعي متساوي الساقين، يسار: فراشة.

شبه المنحرِف متساوي الأضلاع الثلاثة حالة خاصة من شبه المنحرِف متساوي الساقين، وفيه يتساوى طول القاعدة الصغرى مع طول الساقين، هذا الشكل هو نصف مُسدَّس منتظم.

يلزم أن يكون رباعي الأضلاع غير التقاطعي الذي يملك محور تناظر واحد إما شبه منحرِف متساوي الساقين أو حَدَأة. أما لو أخذت الرباعيات التقاطعية بالحسبان، فيلزم إضافة شبه المنحرف التقاطعي متساوي الساقين إلى ما سبق، وهو شبه منحرِف مقعَّر يتقاطع ضلعان فيه ويتساويان بالطول، أما الضلعان الآخران فهما متوازيان. أما الفراشة فليست شبه منحرفٍ متساوي الساقين، ولكن غلافها المُحدَّب شبه منحرِف متساوي الساقين.

• 
  شبه المنحرف متساوي الساقين حالة خاصة من رباعي الأضلاع غير المنتظَم، والمستطيل حالة خاصة من شبه المنحرف
• 
  تصنيف أشباه المنحرف
• 
  حالات خاصة من شبه المنحرِف متساوي الساقين

الخواص

شبه منحرف متساوي الساقين نموذجي: أسماء الرؤوس A وB وC وD، والقاعدتان: [AC] و[BD]، والساقان: [AB] و[CD]، والقطران [AC] و[BD] يتقاطعان في النقطة E.

مع أن شبه المنحرِف المدروس يُوصَف بأنه متساوي الساقين، فإن تساوي الساقين وحده لا يكفي لوصف شبه المنحرِف بأنه متساوي الساقين. الشرط اللازم والكافي لذلك هو وجود محور تناظر يُنصِّف الضلعين المتوازيين فيه، لذلك لا يُوصف المُعيَّن، وهو حالة خاصة من شبه المُنحرِف، بأنه شبه منحرِف متساوي الساقين.

لو تمتَّع شبه المُنحرِف بأي من الخواص التالية، فإنه متساوي الساقين:

• للقطرين الطول نفسه.
• قياسا زاويتا إحدى قاعدتين متساويان.
• القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي الضلعين المتوازيان تعامدهما.
• كل زاويتين متقابلتين متكاملتان، وهذا يقتضي أن شبه المنحرف متساوي الساقين رباعي دائري.

• يتقاطع القطران داخل شبه المنحرف، ويقسم كل منهما الآخر إلى قسمين، ويساوي قسما القطر الأول قسمي القطر الثاني مثنى مثنى. أي لو كان القطر الأول [AC] والثاني [BD]، وكانت نقطة التقاطع E، فإن: AE = DE و BE = CE.

الزوايا

زوايا قاعدتا شبه المنحرف متساوي الساقين متساوية المقاس مثنى مثنى. في الصورة أعلاه: الزاوية ∠ABC والزاوية ∠DCB زاويتان منفرجتان متساويتا المقاس، والزاويتان ∠BAD و∠CDA فهما زاويتان حادتان متساويتا المقاس.

كل زاويتين تتشاركان ساقًا في شبه المنحرف متساوي الساقين متكاملتان، أي مجموعهما يساوي 180 درجة.

القطران والعامد

قطرا شبه المنحرِف متساوي الساقين متساويا الطول، وهذا يعني أن شبه المنحرِف هذا رباعي أضلاع متساوي القطرين. بالإضافة لذلك، تقسم نقطة التقاطع القطرين إلى قسمين متساويين مثنى مثنى، أي إذا كان قطرا شبه المنحرف المدروس هما AC وBD، وكانت نقطة تقاطعهما E، فإن AC = BD، وAE = DE وBE = CE.

نسبة تقسيم القطرين هي نفسها النسبة بين ضلعي شبه المنحرِف المتوازيين، أي:

${\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}$

يُحسب طول قطر شبه المُنحرِف حسب مبرهنة بطليموس بالعلاقة:

$p={\sqrt {ab+c^{2}}}$

وفيها a وb طولا الضلعين المتوازيين وc طول أحد الساقين.

يُحسَب طول العامِد $h$، وهو الخط المستقيم الواصل بين القاعدتين والعمودي على كل منهما، حسب مبرهنة فيثاغورس، كما يأتي:

$h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}$

تحسب المسافة التي تفصل بين نقطة نقاطع القطرين E والقاعدة AD بالعلاقة التالية:

$d={\frac {ah}{a+b}}$

وفيها a و b طولا الضلعين المتوازيين وh طول العامِد.

المساحة

مساحة أي شبه منحرف $k$ هي جُداء متوسط طول القاعدتين بطول العامِد $h$. أي:

$K={\tfrac {1}{2}}\left(a+b\right)h$

وفيها $a=[AD]$ و$b=[BC]$.

يُمكن أيضًا حساب المساحة بدلالة أطوال الأضلاع فقط وفقًا لصيغة براهماغوبتا على اعتبار شبه المنحرف متساوي الساقين رباعي دائري:

$K=(s-c){\sqrt {(s-a)(s-b)}}$

وفيها $c$ طول الساق و$s$ نصف المحيط، ويُحسب بالعلاقة: $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)$.

الدائرة المحيطة

يُحسب نصف قطر الدائرة المحيطة بالعلاقة التالية:

في حالة المستطيل، أي عندما a = b، تؤول العلاقة السابقة إلى الشكل التالي:

$R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$

الثنوية

حَدَأة (بالأصفر) وثنويها: شبه المنحرف متساوي الساقين (بالأزرق).

يرتبط شبه المنحرف متساوي الساقين بعلاقة الثنوية مع الحدأة، فكل منهما ثنوي الآخر. الدائرة الماسة داخلًا لأضلاع حدأة، هي نفسها الدائرة المحيطة (أي التي تمر من رؤوسه) لثنويها: شبه المنحرف متساوي الساقين، والعكس بالعكس.

يقارن الجدول التالي خواص شبه المنحرف متساوي الساقين والحدأة من منظور ثنوي.

شبه المنحرِف متساوي الساقين	الحَدَأة
4 أزواج من الزوايا المتساوية مثنى مثنى	4 أزواج من الأضلاع المتساوية مثنى مثنى
ضلعان متقابلان متساويا الطول	زاويتان متقابلتان متساويتا المقاس
يُوسِّط خط مستقيم الضعلين المتقابلين ويعامدهما	يُنصِّف كل قطر زاويتين متقابلتين
محور تناظر يُنصِّف ضلعين متقابلين.	محور تناظر يُنصِّف زاويتين متقابلتين.
دائرة محيطة تمر بكل الرؤوس	دائرة مرسومة داخلها تمس كل الأضلاع

انظر أيضًا

• شبه منحرف
• شبه منحرف مماسي

المراجع

فهرس المراجع

بالعربية

بالإنجليزية

معلومات المراجع كاملة

الدوريات المُحكَّمة

بالإنجليزية

• Don E. Ryoti (1967). "What is an Isosceles Trapezoid?". The Mathematics Teacher (بالإنجليزية). 60 (7): 792–730. DOI:10.5951/MT.60.7.0729. ISSN:0025-5769. JSTOR:27957671. OCLC:9990027519. QID:Q137180539.
• S. A. Robertson (1977). "Classifying Triangles and Quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 61 (415): 38. DOI:10.2307/3617441. ISSN:0025-5572. JSTOR:3617441. OCLC:5556044196. Zbl:0345.50002. QID:Q56113757.

الكتب

بالعربية

• غياث الدين الكاشي (1969)، مفتاح الحساب، مراجعة: عبد الحميد لطفي. تحقيق: أحمد سعيد الدمرداش، محمد حمدي الحفني الشيخ، القاهرة: دار الكاتب العربي للطباعة والنشر، OCLC:18770000، QID:Q131764273
• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221

بالإنجليزية

• George Bruce Halsted (1896), Elementary Synthetic Geometry (بالإنجليزية) (2nd ed.), New York City: Wiley, OCLC:806000189, QID:Q137189618
• Frank Tapson (1999). The Oxford mathematics study dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-914567-6. OCLC:1194925294. QID:Q136483779.
• Eric W. Weisstein (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). Boca Raton. ISBN:978-1-58488-347-0. OCLC:50252094. OL:8795340M. QID:Q132128278.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: مكان بدون ناشر (link)
• Michael de Villiers (2009). Some Adventures In Euclidean Geometry (بالإنجليزية). ISBN:978-0-557-10295-2. OCLC:1040048475. QID:Q137189878.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2020). A cornucopia of quadrilaterals. Dolciani mathematical expositions (55) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. ISBN:978-1-4704-5312-1. LCCN:2019040456. MR:4286138. OCLC:1122714937. QID:Q137186882.
• Nicholas Wasserman; Timothy Fukawa-Connelly; Keith Weber; Juan Pablo Mejía Ramos; Stephen Abbott (2022). Understanding Analysis and its Connections to Secondary Mathematics Teaching. Springer texts in education (بالإنجليزية). Cham: Springer Science+Business Media. DOI:10.1007/978-3-030-89198-5. ISBN:978-3-030-89198-5. OCLC:1290841782. QID:Q137186838.

وصلات خارجية

• صيغ رياضية عن شبه المنحرف متساوي الساقين.