رباعي أضلاع

ستة رباعيات أضلاع ملونة لكل منها 4 أضلاع و4 رؤوس.

في الهندسة الرياضية، رباعي الأضلاع مُضلَّع له أربعة أضلاع وأربعة رؤوس . لو كانت رؤوس الرباعي: $A$ $B$ و$C$ و$D$، فيشار إلى الرباعي كتابة بالصيغة: $\square ABCD$.

تشمل عائلة رباعيات الأضلاع طيفًا واسعًا من الأشكال الهندسية التي يُمكن تصنيفها حسب خواصها: التحدُّب والتقاطع الذاتي وتساوي قياسات الأضلاع أو توازيها وتساوي قياسات الزوايا وتتامها وتناصف القطرين وتعامدهما، أشهرها: متوازي الأضلاع الرباعي وشبه المنحرف والمستطيل والمربع.

التسمية

يُشتق اسم رباعي الأضلاع (بالإنجليزية: quadrilateral) من اللاتينية، وفيه تعني (quadri) أربعة، و(latus) جانب. ولكن يُمكن تسمية الشكل حسب الجذور اليونانية، فيكون اسمه (بالإنجليزية: tetragon) وفيها (-tetra) تعني أربعة و(gon-) تعني زاوية، فيصبح اسم الشكل حرفيًا: رباعي الزوايا. من أسماء الشكل الأخرى بالإنجليزية أيضًا: (quadrangle) و(4-angle) ومعناها حرفيًا رباعي الزوايا.

أما في نظام التسمية العربية، فالأصل في تسمية المُضلعَّات التي لا يتجاوز عدد أضلاعها العشرة أن تُسمَّى على وزن اسم المفعول من فعلها الثلاثي المزيد بحرف على وزن (فعَّل)، نُحو مُثلَّث لما فيه ثلاثة أضلاع ومُخمَّس لما فيه خمسة، ولكن لفظ مُربَّع محجوز لنوع خاص من الأشكال التي لها أربعة الأضلاع، ولا يجوز تعميمه على العائلة كلها لأنه حالة خاصةٌ منها. لذلك يُلجَأ إلى أسلوب تسمية آخر صيغته: نوني الأضلاع، فما له ثلاثة أضلاع يُسمَّى ثلاثي الأضلاع، وما له أربعة يُسمَّى رباعي الأضلاع، وما له خمسة يُسمَّى خماسي الأضلاع.

التصنيف

تصنيف رباعيات الأضلاع بمخطط هاسه.

رباعي الأضلاع مُضلَّع عدد أضلاعه 4، وله أربعة رؤوس. تسمَّى أي قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متجاورين فيه قطرًا، ولرباعي الأضلاع $\square ABCD$ قطران: $[BD]$ و$[AC]$. توصف رؤوس الرباعي التي ينطلق منها قطراه بأنها رؤوس متقابلة مثنى مثنى، فالرأس $A$ يقابل الرأس $C$ لأنها طرفا القطر $[AC]$، والرأس $B$ يقابل الرأس $D$ لأنها طرفا القطر $[BD]$. أما الرؤوس التي ترتبط بأضلاع فيما بينها فتسمى رؤوسًا متجاورة. توصف أضلاع الرباعي بالمثل بأنها متجاورة إذا اشتركت برأس ما، ومتقابلة بخلاف ذلك.

تُصنَّف رباعيات الأضلاع وفقًا لتقاطع أضلاعها بعضها مع بعضٍ من عدمه، إذا تقاطعت، وُصِف الرباعي بأنه مُعقَّد، وإذا لم تتقاطع وُصِف بأنه بسيط. تُصنَّف رباعيات الأضلاع البسيطة بعد ذلك حسب خاصية التحدُّب: يكون الرباعي مُحدَّبًا إذا رُسم خط بين أي نقطة داخلها، أو من أحد وجوهها إلى نقطة أخرى مشابهة فأنه لا يقطع أيًا من أضلاعه، وإلا فهو مُقعَّر.

رباعي الأضلاع البسيط

مخطط أويلر لرباعيات الأضلاع البسيطة.

رباعي الأضلاع البسيط هو أي رباعي أضلاع لا تقطع أضلاعه بعضها البعض.

قد يكون رباعي الأضلاع البسيط مُحدَّبًا أو مُقعَّرًا.

رباعي الأضلاع المُحدَّب

مخطط هاسه لرباعيات الأضلاع المُحدَّبة يظهر العلاقة بينها وفقًا لتناظرها.

تمتاز رباعيات الأضلاع المُحدَّبة بأن قياس أي زواية داخلية فيها أقل من 180° وبأن القطرين يوجدان داخل الرباعي.

• أبسط أشكال رباعيات الأضلاع البسيطة المُحدَّبة هو رباعي الأضلاع غير المنتظم، وميزته: لا يوازي أيٌّ من أضلاعه أي ضلعٍ آخر فيه.
• إذا توازى ضلعان في رباعي الأضلاع سُمّي شبه منحرف، وإذا تساوى قياس زوايتان متجاورتين في شبه منحرف، سُمي شبه منحرف متساوي الساقين.
• إذا تساوى طولا ضلعين متجاورين مثنى مثنى في رباعي أضلاع، سُمِّي حَدَأة، أقطار الحدأة متعامدة، ويقسم كل منها الحدأة إلى مثلثين متطابقين، وتكون الزاويتان اللتان تتشكلان بين الضلعين المتجاورين مختلفي الطول متساويتين.
• إذا توازى كل ضلعين متقابلين في رباعي الأضلاع، سُمِّي بمتوازي الأضلاع الرباعي. تكون الأضلاع المتوازية متساوية الطول، والزوايا المتقابلة متساوية القياس، وينصف قطر المتوازي كلًا منها. تشمل متوازيات الأضلاع عائلتين فرعيتين: الرباعيات قائمة الزوايا والرباعيات متساوية الأضلاع.
• إذا تساوت أطوال أضلاع متوازي أضلاع، أو حَدَأة، سُمِّي الرباعي الناتج مُعيَّنًا، أقطار المعين متعامدة ومتناصفة وكل زويتين متقابلتين فيه متساويتان. أما لو كانت أطوال أضلاع الرباعي المتجاورة غير متساوية، وحوى زاوية منفرجة فإنه يُسمَّى عندها شبه مُعيَّن.
• إذا كانت زوايا متوازي أضلاع كلها قائمةً سُمِّي قائم الزاوية، وتكون أقطاره متساوية الطول ومتناصفة، وتضم عائلة قائمات الزوايا المستطيلات والمربعات.
• المستطيل هو متوازي أضلاع قائم الزواية، أطوال أضلاعه المتجاورة ليست متساوية، في حين أن أطوال أضلاعه المتقابلة متساوية. يُسمى الضلع الأطول طول المستطيل والأقصر عرضه.
• إذا تساوت أطوال أضلاع المُستطيل سُمِّي مربعًا. المربع مُعيَّن ومستطيل ومتوازي أضلاع في الوقت نفسه، أضلاعه متساوية الطول وزواياه متساوية القياس وكلها قائمة، أقطاره متساوية الطول ومتناصفة.

تُصنَّف رباعيات الأضلاع ضمن أصناف فرعية أخرى كما يلي:

• رباعي الأضلاع المماسي: أضلاعه الأربعة تمس دائرة مرسومة داخله. يكون رباعي الأضلاع المُحدَّب مماسيًا، إذا وفقط إذا، كات مجموع أطوال أضلاعه المتقابلة متساويًا. من الأمثلة عنه شبه المنحرف المماسي.
• الرباعي الدائري: رباعي أضلاع تقع رؤوسه الأربعة على دائرة محيطة. يكون رباعي الأضلاع المُحدَّب دائريًا، إذا وفقط إذا، كان المجموع الزوايا المتقابلة فيه 180°. من الأمثلة عليها الحَدَأة القائمة وفيها زاويتان متقابلتان قائمتان. إذا كان جُداء الأضلاع المتقابلة متساويًا في الرباعي الدائري، سُمِّي رباعي أضلاع توافقيًا.. إذا كان أحد أضلاع الرباعي الدائري قطرًا في الدائرة، سُمِّي الرباعي رباعي دائري قطري..
• إذا كان رباعي الأضلاع مماسيًا ودائريًا معًا فإنه يُسمَّى رباعي أضلاع ثنائي المركز..
• إذا كان قطرا الرباعي متعامِدان سُمِّي رباعي الأضلاع متعامد القطرين، وإذا كانا متساويا الطول سُميَّ رباعي الأضلاع متساوي القطرين، وإذ كانا متناصفان، أي يُقسِّم كل منهم الآخر إلى قسمين متساويي الطول، سُمِّي رباعي الأضلاع متناصف القطرين، وكل رباعي أضلاع متناصف القطرين هو متوازي أضلاع رباعي.
• إذا مسَّت امتدادات أضلاع الرباعي دائرة خارجه سُمِّي رباعي أضلاع مماسي خارجي.
• إذا كان امتدادا ضلعين متساويين ومتقابلين في رباعي الأضلاع يلتقيان بزاوية 60° فيُسمَّى عندها رباعي الأضلاع المنسوب للمثلث المنتظَم.
• يُسمَّى الرباعي رباعي أضلاع واط إذا كان فيه زوجان من الأضلاع المتقابلة متساوية الطول.
• يُوصَف رباعي الأضلاع المُحدَّب بأنه مُربَّعي إذا كانت رؤوسه الأربعة تقع على محيط مُربَّع.
• إذا حوى رباعي الأضلاع على زاويتين قائمتين متقابلتين سُمِّي رباعي أضلاع يِلْمسليف.

• 
  رباعي أضلاع مماسي
• 
  رباعيات دائرية متنوعة: المُستطيل والمُربَّع وشبه المنحرف وشبه المنحرف متساوي الساقين
• 
  حدأة قائمة: مثال عن رباعي أضلاع دائري ومماسي وهو بالتالي ثنائي المركز.
• 
  رباعي أضلاع متعامد القطرين
• 
  رباعي أضلاع مماسي خارجي

رباعي الأضلاع المقعَّر

رباعي الأضلاع المُقعَّر مُضلَّعٌ مُقعَّر عدد أضلاع أربعة. يقطع امتداد أحد أضلاعه على الأقل ضلعًا آخر. إحدى زوايا رباعي الأضلاع المُقعَّر أكبر من 180° وأحد قطريه يمتد خارج الرباعي.

من الأمثلة على رباعي الأضلاع المُقعَّر: نصل السهم.

رباعي الأضلاع المُعقَّد

رباعي الأضلاع المُعقَّد رباعي أضلاع ذاتي التقاطع: أي يقطع أحد أضلاعه ضلعًا آخر على الأقل. لرباعي الأضلاع المُعقَّد أربع زوايا داخلية: اثنان منها حادة واثنان منها منعكسة مجموعها 720°. يلزم الانتباه إلى أن موقع التقاطع بين الضلعين لا يُعدَّ رأسًا من رؤوس رباعي الأضلاع.

• شبه المنحرف التقاطعي: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه زوجان متوازيان من الأضلاع وغير متجاورين.
• رباعي الأضلاع متخالفة التوازي: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه كل زوجين متقابلين من الأضلاع متساويا الطول وغير متوازيين.
• المستطيل التقاطعي: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه ضلعين متوازيين ومتساويي الطول، وضلعين متقاطعين ومتناصفين ومتساويي الطول.
• المربع التقاطعي: مستطيل تقاطعي، يتقاطع ضلعاه بزاوية قائمة.

• 
  شبه منحرف تقاطعي
• 
  رباعي الأضلاع متخالفة التوازي
• 
  مستطيلان تقاطعيان بجانب مستطيل قائم

رباعي الأضلاع المتجانف

طالع أيضًا: مضلع متجانف

يُسمَّى رباعي الأضلاع غير المستوي، أي الذي لا تقع رؤوسه في مستوٍ واحد، برباعي الأضلاع المتجانف. يُشكِّل رباعي الأضلاع المتجانف مع قطريه رباعي وجوه، غير منتظَم بالضرورة، كما يُمكن إنشاء أي رباعي أضلاع متجانف انطلاقًا من رباعي وجوه بإزالة زوجين من حروفه المتقابلة.

• 
  إسفيناني ثنائي، تُشكِّل حروفه الملوَّنة بالأحمر رباعي أضلاع متجانف.

الخواص

الأجزاء الرئيسة لرباعي أضلاع: إلى اليمين أسماء الرؤوس والأضلاع والأقطار، في الوسط: المتوسط الثنائي والأقطار لرباعي أضلاع مُحدَّب، إلى اليسار: لرباعي أضلاع مُقعَّر.

يُرمز لرباعي الأضلاع المُحدَّب عادةً بالرمز $ABCD$، وُتسمَّى أضلاعه بحروف صغيرة وفق ما يأتي:

$a=AB,\ b=BC,\ c=CD,\ d=DA$

ويُرمَز لزواياه بالرموز:

$\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$

قطرا الرباعي المُحدَّب هما القطعتان المستقيمتان اللتان تصلان بين كل زوجين من الرؤوس المتقابلة، ويُرمز لهما بحرفين صغيرين كما يأتي:

$p=[CA],q=[BD]$

يُسمَّى الخط الواصل بين منتصفي ضلعين متقابلبين بالمتوسط الثنائي. إذا كانت منتصفات الأضلاع الأربعة: $M_{AB},M_{BC},M_{CD},M_{DA}$ فيُرمز للمتوسط الثنائي الذي يصل بين $M_{AB}$ و$M_{CD}$ بالحرف الصغير $m$ وبين $M_{BC}$ و$M_{DA}$ بالحرف الصغير $n$.

الارتفاع المُنصِّف هو قطعة مستقيمة تصل بين ضلعين متقابلين في رباعي الأضلاع، تُنصِّف أحدهما وتعامد الآخر.

الأضلاع

ترتبط أضلاع الرباعي والزاويتين المتقابلتين فيه $A$ و$C$، بالمتطابقتين التاليتين:

$ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)$

و

$bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)$.

وفيهما $s$ نصف محيط رباعي الأضلاع.

تستوفي أضلاع أي رباعي المتباينتين التاليتين:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}$

و

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}$

من أجل كل رباعي أضلاع بسيط عُلمت أطوال أضلاعه، يوجد رباعي أضلاع دائري له أطوال الأضلاع نفسها.

الزوايا

مجموع الزاويا الداخلية لأي رباعي أضلاع بسيط ومستوٍ يساوي 360 درجة، أي:

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }$

تحقق زوايا أري رباعي أضلاع بسيط المتطابقات التالية:

$\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)$

و

${\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}$

و

${\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}$

يلزم الانتباه إلى أن المتطابقتين الأخيرتين لا تنطبقان على قائمات الزوايا، مثل المستطيل والمربع، لأن ظل الزاوية 90° غير مُعرَّف.

المساحة

الصيغ المثلثية

مقصورة على رباعي الأضلاع المُحدَّب ما لم يُذكر خلاف ذلك.

صيغة حساب المساحة $K$	ملاحظات
$K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta$	وفيها $p$ و$q$ القطران، و$\theta$ الزاوية بينهما. في حالة تعامد القطرين، مثلًا المربع أو المُعيَّن أو الحَدَأة، تؤول العلاقة إلى الشكل: $K={\tfrac {pq}{2}}$ لأن جيب الزاوية 90 مساوٍ للواحد.
$K=mn\sin \varphi$	بدلالة متوسطي الضلعين، وفيها $m$ و$n$ طول متوسطي رباعي الأضلاع، و$\varphi$ الزاوية بينهما.
${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}$	باستعمال مبرهنة بريتشنايدر لحساب المساحة بدلالة أطوال الأضلاع وزاويتين متقابلتين. وفيها $a$ و$b$ و$c$ و$d$ هي أطوال أضلاع الرباعي، و$s$ هو نصف محيطه، و$A$ و$C$ أي زاويتين متقابلتين فيه. تؤول هذه العلاقة إلى صيغة براهماغوبتا لحساب مساحة الرباعي الدائري عندما يكون $A+C=180^{\circ }$
$K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}$	بدلالة أطوال الأضلاع وقياسات الزوايتين و$A$ (بين $a$ و$d$) و$C$ (بين $b$ و$c$). إذا كان الرباعي دائريًا، تؤول هذه الصيغة إلى: $K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}$ يمكن اختزال هذه العلاقة في متوازي الأضلاع، لأن كل زوجين متقابلين من الأضلاع متساويي الطول، وكل زوجين متقابلين من الزوايا متساويي القياس، فتصبح بالشكل:$K=ab\cdot \sin {A}$
$K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|$	بدلالة أطوال الأضلاع وزاوية تقاطع القطرين، بشرط ألا تكون قائمة. وتؤول هذه العلاقة في حال كان الرباعي متوازي أضلاع إلى الشكل التالي، للأسباب نفسها الموضحة أعلاه: $K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|$
$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }$	بدلالة أطوال الأضلاع والزاوية بين المتوسطيين الثنائيين φ وفيها x هي المسافة بين منتصفات الأضلاع والقطرين.
$K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}}$	بدلالة أطوال الأضلاع، الزاوية بين الضلعين a وb ورمزها α. يُمكن أن تُستعمل هذه العلاقة لحساب مساحة رباعي الأضلاع المُقعَّر بإبدال إشارة جمع بإشارة الطرح قبل القوس.

الصيغ غير المثلثية

مقصورة على رباعي الأضلاع المُحدَّب ما لم يُذكر خلاف ذلك.

المساحة	ملاحظات
$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}$ $K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}$	بدلالة أطوال الأضلاع ونصف المحيط s وطولي القطرين. يُمكن أن تؤول العلاقة الأولى إلى صيغة براهماغوبتا في الرباعي الدائري، لأن pq = ac + bd.
$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}$ $K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}$	بدلالة طولي القطرين والمتوسطين الثنائيين. يكفي في الواقع معرفة ثلاثة فقط من طولي القطرين والمتوسطين الثنائيين لحساب المساحة لأن القيم الأربعة ترتبط بعضها من مع بعض بالعلاقة: $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2})$ إذا عُرِف طول المتوسطين وأحد الأقطار، تُصبِح العلاقة: $K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}$ وإذا عُرِف طول القطرين وأحد المتوسطين، تُصبِح العلاقة: $K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}$

يَنشأ عن تقاطع القطرين والأضلاع الأربعة 4 مثلثات داخل رباعي الأضلاع، يتساوى جداء مساحة كل مثلثين متقابلين منهما مع المثلثين الآخرين.

الصيغ المتجهية

يُمكن حساب مساحة رباعي الأضلاع بالمُتَّجهات. ليكن قطرا الرباعي المتجهان AC وBD، يُمكن التعبير عن مساحة الرباعي بأنها نصف طويلة جُداء المتجهين السابقين، أي:

$K={\tfrac {1}{2}}|AC\times BD|$

يمكن تمثيل المتجهين في فضاء ديكارتي ثنائي الأبعاد باعتبارهما متجهين حُرَّين كما يأتي (x₁,y₁) و(x₂,y₂) وعندها تؤول العلاقة السابقة إلى الشكل:

$K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|$

متباينات

تستوفي مساحة الرباعي الدائري المتباينات التالية:

المتباينات	ملاحظات
$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$	المساواة مقصورة على المستطيل وحده.
$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$	المساواة مقصورة على المُربَّع وحده.
$K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})$	المساواة مقصورة على الحالات التي يكون فيها القطران متعامدين ومتساويي الطول.
$K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$	المساواة مقصورة على المستطيل وحده.
$K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$	المساواة مقصورة على رباعيات الأضلاع الدائرية والمنحلة وحدهما، أي التي انطبقت أضلاعها فأصبحت قطعة مستقيمة، يكون طول ضلع واحد مساوٍ للأضلاع الثلاثة الأخرى ومساحتها صفر.
$K\leq {\sqrt {abcd}},$	مقصورة على رباعي الأضلاع ثنائي المركز والمستطيل وحدهما.
$\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.$
$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},$	وفيها $L$ محيط الرباعي، والمساواة مقصورة على المربَّع وحده. يُمكِن انطلاقًا من هذه المتباينة واعتمادًا على متباينة المحيط الثابت، إثبات أنه من أجل محيط معروف لرباعي أضلاع، فإن الرباعي الأكبر مساحةً هو المُربَّع. وثنوية هذه المبرهنة صحيحة أيضًا: من أجل مساحة معروفة لرباعي أضلاع، فإن الرباعي الأصغر محيطًا هو المُربَّع. إذا علمت أطوال الأضلاع، فمن بين رباعيات الأضلاع المُحدَّبة المعروفة، الرباعي الدائري هو صاحب أكبر مساحة.
$K\leq {\tfrac {1}{2}}pq$	مقصورة على الرباعيات المُحدَّبة، والمساواة فيها مقصورة على الحالات التي يتعامد فيها القطران. يُمكِن انطلاقًا من هذه المتباينة القول بأنه إذا علمت أطوال الأقطار، فمن بين رباعيات الأضلاع المُحدَّبة المعروفة، الرباعي متعامد القطرين هو صاحب أكبر مساحة.
$K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)$	مقصورة على الرباعيات المُحدَّبة، والمساواة فيها مقصورة على المُربَّع.
$K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$	مقصورة على الرباعيات المُحدَّبة، والمساواة فيها مقصورة على المُربَّع.

القطران

الوصف

يُوصَف قطرا رباعي الأضلاع بأنهما:

• متناصفان: إذا تقاطعا بنقطة تُنصِّف كل منهما.
• متعامدان: إذا تقاطعا بزاوية قائمة.
• متساويان إذا تساوى طولهما.

يُبين الجدول التالي خواص أقطار أهم رباعيات الأضلاع:

رباعي الأضلاع	تناصف القطرين	تعامد القطرين	تساوي القطرين
شبه المنحرف	لا	مُمكِن لكن ليس شرطًا	لا
شبه منحرف متساوي الساقين	لا	مُمكِن لكن ليس شرطًا	نعم
متوازي أضلاع	نعم	لا	لا
حَدَأة	مُمكِن لكن ليس شرطًا	نعم	مُمكِن لكن ليس شرطًا
مستطيل	نعم	لا	نعم
مُعيَّن	نعم	نعم	لا
مُربَّع	نعم	نعم	نعم

حساب الطول

يُحسب طولا قطري رباعي أضلاع مُحدَّب $ABCD$، وليكونا مثلًا $p$ و$q$، بتطبيق قانون جيب التمام على كل مُثلَّث يتشكل من قطر الرباعي وضلعين منه، حسب ما ياتي $$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}$$ و $$q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}$$

يُمكن أيضًا حساب طول القطرين باستعمال العلاقتين التاليتين: $$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}$$ و $$q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}$$

يرتبط طولا القطرين مع زواية تقاطعهما $\theta$ ومع أطوال أضلاع الرباعي بالعلاقة:

$$\cos \theta ={\frac {b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}}{2pq}}$$

اشتق الرياضياتي الألماني كارل أنطون برتشندر سنة 1984م العلاقة التالية التي تربط قطري رباعي الأضلاع المحدَّب مع قياس زاويتين فيه انطلاقًا من تعميم مبرهنة بطليموس: $$p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}$$

يُمكِن تعميم قانون متوازي الأضلاع لينطبق على أي رباعي أضلاع مُحدَّب بالصيغة:

$$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}$$ وفيها x هي المسافة بين نقطتي وسط القطرين.

متباينات

المتباينة	ملاحظات
$pq\leq ac+bd$	تعميم أويلر لمبرهنة بطليموس لذلك تُسمَّى أحيانًا متباينة بطليموس، ، مقصورة فقط على الرباعيات المُحدَّبة، والمساواة فيها مقصورة على رباعي الأضلاع الدائري.
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}$	لازمة لمبرهنة رباعي الأضلاع لأولر، والمساواة فيها مقصورة على متوازي الأضلاع.
$AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.$	وفيها $P$ نقطة داخل رباعي الأضلاع المُحدَّب. تعني هذه المتباينة أن النقطة الموجودة داخل الرباعي، والتي يكون فيها مجموع المسافات إلى رؤوس الرباعي أصغر ما يُمكن هي نقطة تقاطع القطرين، وهي تعد نقطة فيرما لأي رباعي أضلاع مُحدَّب.

المتوسطان الثنائيان

متوازي أضلاع فيرنون $EFGH$ باللون الأحمر.

المتوسطان الثنائيان لرباعي أضلاع هما القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين منتصفي كل ضلعين متقابلين، وهما يتقاطعان في مركز رباعي الأضلاع.

تُشكِّل منتصفات أضلاع أي رباعي، سواء أكان مُحدَّباً أو مقعرًا أو تقاطعيًا، رؤوسًا لمتوازي أضلاع رباعي يُسمَّى متوازي أضلاع فارنون وله الخواص التالية:

• كل زوجين من الأضلاع المتقابلة في متوزاي أضلاع فارنون يوازيان قطرًا في رباعي الأصل.
• يساوي طول ضلع متوزاي أضلاع فارنون نصف طول أحد القطرين في الرباعي الأصل.
• تساوي مساحة متوزاي أضلاع فارنون نصف مساحة رباعي الأضلاع الأصل.
• يساوي محيط متوزاي أضلاع فارنون مجموعة طولي قطري رباعي الأضلاع الأصل.
• قطرا متوزاي أضلاع فارنون هما المتوسطان الثنائيان لرباعي الأضلاع الأصل.

يُمكِن حساب طولي المتوسطين الثنائيين بدلالة أطوال أضلاع الرباعي وطولي القطرين كما يأتي:

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}$

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}$

ويرتبط طولا القطرين وطولا المتوسطين الثنائيين بالعلاقة التالية، وهي لازمة لقانون متوازي الأضلاع:

$\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$

يُمكن التعبير عن طولي المتوسطين الثنائيين بدلالة الأضلاع المتقابلة والمسافة x التي تفصل بين المتوسطين والقطرين، وفق ما يأتي:

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}$

و

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}$

يرتبط قطرا رباعي الأضلاع المُحدَّب ومتوسطاه الثنائيان بالعلاقتين الثنويتين التاليتين:

• يتساوى طول المتوسطين الثنائيين، إذا وفقط إذا، كان القطران متعامدين.
• يتعامد المتوسطان الثنائيان، إذا وفقط إذا، كان القطران متساويي الطول.

يرتبط قطرا أي رباعي أضلاع مُحدَّب ومتوسطاه الثنائييان بالمتباينة التالية:

$pq\leq m^{2}+n^{2},$

وتكون المساواة مقصورة على الحالة التي يتساوى فيها طولا القطرين.

مُنصِّفات الزوايا

يُمكن أن تُشكِّل منصفات زوايا رباعي الأضلاع المُحدَّب رباعي أضلاع دائري، بخلاف ذلك فإنها تتلاقى في نقطة إذا كان رباعي أضلاعٍ مماسيًا.

إذا تقاطع منصفا الزاويتين A وC بنقطة تقع على القطر BD، فإن منصفا الزاويتين B وD سيتقاطعان بنقطة تقع على القطر AC.

انظر أيضًا

• مضلع
• مُربَّع
• مستطيل
• مُعيَّن
• شبه منحرف
• متوازي أضلاع
• حَدَأة
• رباعي وجوه

المراجع

فهرس المراجع

المنشورات

العربية

الإنجليزية

الوب

معلومات المراجع الكاملة

العربية

الكتب

• فوزي دنان؛ سعد طه باقر؛ صابر نصر العايدي؛ هاني رضا فران (1984)، موسوعة الكويت العلمية: الرياضيات، كاتب وكتاب (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1)، مدينة الكويت: مؤسسة الكويت للتقدم العلمي، OCLC:1103839071، QID:Q131933449
• المعجم الموحد لمصطلحات الرياضيات والفلك: (إنجليزي - فرنسي - عربي)، قائمة إصدارات سلسلة المعاجم الموحدة (3) (بالعربية والإنجليزية والفرنسية)، تونس: مكتب تنسيق التعريب، 1990، OCLC:4769958475، QID:Q114600477
• منير البعلبكي (2005). المورد الأكبر: قاموس إنكليزي عربي حديث (بالعربية والإنجليزية). مراجعة: رمزي البعلبكي (ط. 1). بيروت: دار العلم للملايين. ISBN:978-9953-9021-6-6. OCLC:829330815. OL:13208957M. QID:Q107009855.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
• معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، 2019، OCLC:1413794243، QID:Q125363697

الإنجليزية

المقالات المُحكَّمة

• William Rowan Hamilton (1850). "On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis, Respecting the Inscription of Gauche Polygons in Surfaces of the Second Order". Proceedings of the Royal Irish Academy (بالإنجليزية). 4: 380–387. ISSN:0302-7597. JSTOR:20520323. OCLC:9980206751. QID:Q136497515.
• "Problems and Solutions". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 29 (1): 28–41. 1922. DOI:10.1080/00029890.1922.11986096. ISSN:0002-9890. OCLC:7355961169. QID:Q136527721.
• J. L. Coolidge (1939). "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 46 (6): 345–347. DOI:10.2307/2302891. ISSN:0002-9890. JSTOR:2302891. OCLC:5545505076. QID:Q136527457.
• V. F. Ivanoff; C. F. Pinzka; Joe Lipman (1960). "E1376". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 67 (3): 291–292. DOI:10.2307/2309706. ISSN:0002-9890. JSTOR:2309706. OCLC:5545506739. QID:Q136528487.
• A. K. Jobbings (1997). "Quadric Quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 81 (491): 220–224. DOI:10.2307/3619199. ISSN:0025-5572. JSTOR:3619199. OCLC:5555843333. S2CID:250440553. QID:Q136486603.
• Michael De Villiers (1999). "Stars: A second look". Mathematics in School (بالإنجليزية). 28 (5): 30–32. ISSN:0305-7259. QID:Q136486636.
• J. Harries (2002). "Area of a quadrilateral". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 86 (506): 310–311. DOI:10.2307/3621873. ISSN:0025-5572. OCLC:197474532. QID:Q136527385.
• Thomas Peter (2003). "Maximizing the Area of a Quadrilateral". The College Mathematics Journal (بالإنجليزية). 34 (4): 315–316. DOI:10.2307/3595770. ISSN:0746-8342. JSTOR:3595770. OCLC:5548823891. QID:Q136505943.
• G. Keady; P. Scales; P. Németh (2004). "Watt linkages and quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 88 (513): 475–492. DOI:10.1017/S0025557200176107. ISSN:0025-5572. OCLC:9988499486. S2CID:125102050. QID:Q136483918.
• Raymond A. Beauregard (2009). "Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides". The College Mathematics Journal (بالإنجليزية). 40 (1): 17–21. DOI:10.1080/07468342.2009.11922331. ISSN:0746-8342. OCLC:471900221. S2CID:122206817. QID:Q130171504.
• Gerry Leversha (2009). "93.14 a Property of the Diagonals of a Cyclic Quadrilateral". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 93 (526): 116–118. ISSN:0025-5572. JSTOR:40378687. OCLC:317535283. QID:Q136530386.
• Douglas W. Mitchell (2009). "93.32 the Area of a Quadrilateral". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 93 (527): 306–309. DOI:10.1017/S0025557200184906. ISSN:0025-5572. JSTOR:40378743. OCLC:427692965. S2CID:125427608. QID:Q136527623.
• Martin Josefsson (2011). "The Area of a Bicentric Quadrilateral" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 11: 155–164. ISSN:1534-1178. S2CID:14015327. QID:Q136528455.
• Martin Josefsson (2012). "Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 12: 13–25. ISSN:1534-1178. QID:Q136531068.
• Martin Josefsson (2013). "Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 13: 17–21. ISSN:1534-1178. S2CID:123848598. QID:Q136141365.
• Martin Josefsson (2013). "Characterizations of Trapezoids" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 13: 23–35. ISSN:1534-1178. S2CID:6736261. QID:Q136529492.
• Martin Josefsson (2014). "Properties of Equidiagonal Quadrilaterals" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 14: 129–144. ISSN:1534-1178. QID:Q136530678.
• Martin Josefsson (2016). "100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 100 (549): 505–508. DOI:10.1017/MAG.2016.118. ISSN:0025-5572. OCLC:6854939263. QID:Q136528595.
• Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). "An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral" (PDF). International Journal of Geometry (بالإنجليزية). 7 (1): 81–86. ISSN:2247-9880. QID:Q136530314.
• Dao Thanh Oai; Leonard Giugiuc (2018). "12033". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 125 (3): 277. ISSN:0002-9890. JSTOR:48661869. OCLC:9989937662. QID:Q136530485.
• Emmanuel Antonio José García (2020). "Two Identities and their Consequences". Matinf: publicație bianuală de matematică și informatică pentru elevi și profesori (بالإنجليزية). 3 (6): 5–11. ISSN:2601-9426. QID:Q136505774.
• A. O. Ajibade; M. A. Rashid (2003). "Classroom note: Two conditions for a quadrilateral to be cyclic expressed in terms of the lengths of its sides". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (بالإنجليزية). DOI:10.1080/0020739031000148831. ISSN:0020-739X. OCLC:362163803. QID:Q136530526.

الكتب

• H. S. M. Coxeter; S. L. Greitzer (1967). Geometry revisited. Anneli Lax New Mathematical Library (19) (بالإنجليزية) (1st ed.). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-394-70919-2. JSTOR:10.4169/j.ctt19b9k65. LCCN:67020607. OCLC:543301. QID:Q136280024.
• Oene Bottema (1969), Geometric inequalities, Matematicka biblioteka (31) (بالإنجليزية), Groningen: Noordhoff Uitgevers, OCLC:125687, QID:Q136529551
• John Simpson; Edmund Weiner, eds. (1989). The Oxford English Dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-861186-8. OCLC:611410378. OL:18318791M. QID:Q120829013.
• Frank Tapson (1999). The Oxford mathematics study dictionary (بالإنجليزية) (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN:978-0-19-914567-6. OCLC:1194925294. QID:Q136483779.
• Robin Hartshorne (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Undergraduate Texts in Mathematics (بالإنجليزية) (1st ed.). New York: Springer New York. DOI:10.1007/978-0-387-22676-7. ISBN:978-0-387-98650-0. MR:1761093. OCLC:247577065. QID:Q56227799.
• C. V. Durell; Alice Robson (2003). Advanced trigonometry (بالإنجليزية). Mineola: Dover Publications. ISBN:978-0-486-15443-5. OCLC:867768584. QID:Q136527367.
• Titu Andreescu; Dorin Andrica (2006). Complex Numbers from A to...Z (بالإنجليزية). Boston: Birkhäuser. ISBN:978-0-8176-4326-3. OCLC:55510277. QID:Q136530650.
• Nathan Altshiller Court (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. Dover books on mathematics (بالإنجليزية) (2nd ed.). Mineola: Dover Publications. ISBN:978-0-486-45805-2. OCLC:78063045. QID:Q136529319.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2009). When less is more: visualizing basic inequalities. Dolciani mathematical expositions (36) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-342-9. OCLC:817962671. QID:Q136530264.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2010). Charming proofs: a journey into elegant mathematics. Dolciani mathematical expositions (42) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-0-88385-348-1. OCLC:796675453. QID:Q136531098.
• Roger A. Johnson (2013). Advanced Euclidean Geometry. Dover books on mathematics (بالإنجليزية). Newburyport: Dover Publications. ISBN:978-0-486-15498-5. OCLC:899157957. QID:Q136527437.

وصلات خارجية

• محاكي لرباعيات الأضلاع.
• دور ووظيفة التصنيف التراتبي لرباعيات الأضلاع مقالة بحثية بقلم ميشيل دي فيليرز.