لوغاريتم

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
تمثيل اللوغريتمات، فاللون الأحمر هو قاعدة (e) واللون الاخصر، هو قاعدة الرقم 10، واللون الارجواني هو قاعدة 1.7، لاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة (1، 0).

يعرف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن 1000 = 10 × 10 × 10 = 103.. وبالتعميم يمكن أن نقول بأنه إذا كان x = by فإن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هو y يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة:

y = logb(x)

وبالرجوع إلى المثال يصبح:

log10(1000) = 3.

يعرف اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية والهندسية، ويعرف اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو العدد النيبيري (e) والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية و في الرياضيات البحتة وخاصة في التفاضل والتكامل. في حين يعرف اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في علم الحاسوب والدارات المنطقية.

أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير كوسيلة لتبسيط الحسابات. ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحين والعلماء والمهندسين وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين المساطر الحاسبة والجداول اللوغاريتمية. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية:

 \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,

قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع.

كما يستفاد من المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فغلى سبيل المثال الديسيبل هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت و نسبة الفولط. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهو مقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما.


الأساس والتعريف[عدل]

لقد اتت فكرة اللوغاريتم على أنها العملية العكسية للرفع، وهي رفع رقم لأس، على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي:

2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,

وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي : لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي:

log2 8 = 3.

الرفع[عدل]

يمكننا القول أن ناتج رفع رقم ما b إلى الأس 3 هو حاصل ضرب الرقم b بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإت ناتج رفع الرقم b إلى الأس n هو حاصل ضرب b بنفسه n مرة أي:

b^n = \underbrace{b1 \times b2 \times \cdots \times bn}_{n \text{factor}}.

التعريف[عدل]

يعرف لوغاريتم عدد ما x بالنسبة للأساس b بأنه الأس الذي يجب أن يرفع له b لينتج عنه x أو يمكننا القول بأن لوغاريتم x بالنسبة للأساس b هو الأس y في المعادلة:[1]

b^y = x. \,

وتكتب العبارة (لوغاريتم x بالنسبة للأساس b) رياضياً بالشكل:

 \log_b \!\left( x \right)

وناتج هذه المعادلة هو الأس y

 \log_b \!\left( x \right)=y

ولتعريف اللوغاريتم يجب أن يكون الأساس عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر وx عدد موجب.[م أ 1]

الحساب[عدل]

من السهل حساب اللوغاريتم في بعض الحالات، مثل log10(1,000) = 3. لكن بالعمموم يمكن حساب اللوغاريتم باستخدام متسلسلة القوى أو باستخدام الهندسة الحسابية بالوسائل التقريبية أو من خلال ايجاده تقريبياً من خلال الجداول اللوغاريتمية.[2][3] كما تستخدم طريقة نيوتن-رافسون التكرارية في حساب اللوغاريتم لأن استخدام هذه الطريقة تمكن من ايجاد التابع العكسي والتابع الأسي بشكل فعال.[4] وتستخدم طريقة منزلة بمنزلة لحساب اللوغاريتمات إذا كانت العملية المتاحة فقط هي إضافة وتحويل منزلة.[5][6] بالإضافة إلى استخدام طريقة حساب اللوغاريتم ثنائي لـ lb(x) والتي تقوم على الاستدعاء الذاتي لمربع x وتكرار العملية والاستفادة من ذلك.

\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,

متسلسلة القوى[عدل]

متسلسلة تايلور[عدل]

من أجل عدد حقيقي z يحقق المتراجحة 0 < z < 2، عندها يمكن كتابة العلاقة:[7]


\ln (z)  = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots

من خلال هذه المتسلسلة يمكن حساب قيمة ln(z) بشكل أكثر دقة كلما أخذنا بعين الاعتبار زيادة حدود المتسلسلة أي:


\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}

فعلى سبيل المثال تكون قيمة z = 1.5 باستخدام ثلاث حدود من المتسلسلة مساوية لـ 0.4167 وهي أكبر بحوالي 0.011 من القيمة الحقيقية لـ ln(1.5) = 0.405465

خواص وقوانين اللوغاريتمات[عدل]

نظرًا لأن اللوغاريتمات عبارة عن أسس، فإن خصائص الأسس تنطبق عليها.

تاريخ اللغوريتمات[عدل]

اللوغاريتمات قديما[عدل]

نشر عالم الرياضيات الأسكتلندي جون نايبير أول بحث وجدول للوغاريتمات عام 1614م. وقد اكتشف السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام 1622م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز - فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة في الفترة 1924 و1949م [8].

اللوغريتمات حديثا[عدل]

أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية [9].

إستخادامات اللوغريتمات[عدل]

  • الضرب، لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين في الجدول، وإجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذي يكون لوغاريتمه هو لوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.
  • القسمة، لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو لوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هو حاصل القسمة المطلوب.
  • رفع الرقم إلى قوة معينة، لكي ترفع رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم وإضرب هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو نفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هو القوة المطلوبة للرقم الأول.
  • إيجاد الجذر، لمعرفة جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، وإقسم هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هو الجذر المطلوب للرقم.

أنواع اللغوريتمات[عدل]

تقسم اللوغريتمات إلى قسمين - بحسب أنواعها -:

  • لوغريتمات عادية، تستخدم العدد 10.
  • لوغريتمات طبيعة، بحيث ستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية وهو ما يسمى بالعدد النيبيري.

أنظر أيضا[عدل]

مصادر ومراجع[عدل]

  1. ^ Kate، S.K.؛ Bhapkar، H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , chapter 1
  2. ^ Muller، Jean-Michel (2006), Elementary functions (الطبعة 2nd), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0 , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)
  3. ^ Hart, Cheney, Lawson et al. (1968), Computer Approximations, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley , section 6.3, p. 105–111
  4. ^ Zhang، M.؛ Delgado-Frias، J.G.؛ Vassiliadis، S. (1994), "Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation", IEE Proceedings Computers & Digital Techniques 141 (5): 281–292, doi:10.1049/ip-cdt:19941268, ISSN 1350-387 , section 1 for an overview
  5. ^ Meggitt، J. E. (April 1962), "Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes", IBM Journal, doi:10.1147/rd.62.0210 
  6. ^ Kahan، W. (May 20, 2001), Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials 
  7. ^ Abramowitz & Stegun, eds. 1972, p. 68
  8. ^ تاريخ اللغويتمات القديم
  9. ^ تاريخ اللغويتمات الحديث


وسوم <ref> موجودة لمجموعة اسمها "م أ"، ولكن لم يتم العثور على وسم <references group="م أ"/> أو هناك وسم </ref> ناقص