تباعد

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في حسبان المتجهات، التباعد (بالإنجليزية: Divergence) ورمزه \nabla. أو \operatorname{div}(\mathbf{F}) مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتدرج. يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من الصفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من الصفر) عند نقطة معينة . ويؤثر التباعد على الحقول المتجهة وينتج عنه حقل قياسي. أما إذا كان التباعد صفرا فهذا يعني أن الحقل المتجهي بلا مصدر (بالإنجليزية: source free) ولا مصرف ، ويسمى الحقل في هذه الحالة حقلا متجهيا ملفيا لإنه ليس له بداية ولا نهاية . ومن الأمثلة على ذلك المجالات المغناطيسية. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من القطب الجنوبي (المصدر) وتتجه إلى القطب الشمالي (المصرف) . فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفرا لإن كل ما يخرج منها يعود إليها ، وهذا ما أكد استحالة وجود مغناطيس أحادي القطب. وكذا ُفإن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 مهما كان الحقل A.

التعريف[عدل]

يعرف تباعد الحقل المتجهي \vec F \colon \R^n\to\R^n الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة F_i بالكمية \tfrac{\partial}{\partial x_i}. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي \vec F(x_1, x_2, x_3) في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:


\operatorname{div}\colon 
 \vec F = \left(F_1, F_2, F_3\right)  \mapsto  \frac{\partial}{\partial x_1}F_1
+ \frac{\partial}{\partial x_2}F_2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F_3

والآن للتعميم على الحقل \vec F = (F_1, \ldots, F_n) في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:


\operatorname{div}\colon \vec F=\left(F_1,\ldots,F_n\right)  \mapsto  \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F_i

التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد[عدل]

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد \vec{F}(x,y,z) وفقا لما يلي:

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}



وفي الإحداثيات الإسطوانية \vec{F}(\rho,\varphi,z):

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}



أما في الإحداثيات الكروية \vec{F}(r, \theta,\varphi)
\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}

العمليات على المتجهات[عدل]

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل دلتا (\nabla). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية الترميز الوصف المجال
تدرجGradient  \operatorname{grad}(f) = \nabla f تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي. تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl  \operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f مركب من عمليتي التشعب والتغير. يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.