تباعد

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

في حسبان المتجهات، التباعد (بالإنكليزية: Divergence) ورمزه $\nabla.$ أو $\operatorname{div}(\mathbf{F})$ مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتدرج. يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من صفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من صفر) عند نقطة معينة ويؤثر التباعد على الحقول المتجهة وينتج عنه حقل قياسي. أما إذا كان التباعد صفر فهذا يعني أن الحقل المتجهي بلا مصدر (بالإنكليزية: source free) ولا مصرف ويسمى الحقل في هذه الحالة حقلا متجهيا ملفيا لإنه ليس له بداية ولا نهاية وكذلك الملف ليس له بداية ولا نهاية. ومن الأمثلة على ذلك المجالات المغناطيسية. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من القطب الجنوبي (المصدر) وتتجه إلى القطب الشمالي (المصرف) فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفر لإن كل مايخرج منها يعود إليها وهذا ما أكد ستحالة وجود مغناطيس أحادي القطب. وكذا ُرن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :$\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0$ مهما كان الحقل A.

التعريف

يعرف تباعد الحقل المتجهي $\vec F \colon \R^n\to\R^n$ الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة $F_i$ بالكمية $\tfrac{\partial}{\partial x_i}$. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي $\vec F(x_1, x_2, x_3)$ في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:

$\operatorname{div}\colon \vec F = \left(F_1, F_2, F_3\right) \mapsto \frac{\partial}{\partial x_1}F_1 + \frac{\partial}{\partial x_2}F_2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F_3$

والآن للتعميم على الحقل $\vec F = (F_1, \ldots, F_n)$ في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:

$\operatorname{div}\colon \vec F=\left(F_1,\ldots,F_n\right) \mapsto \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F_i$

التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد $\vec{F}(x,y,z)$ وفقا لما يلي:

$\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية $\vec{F}(\rho,\varphi,z)$:

$\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

أما في الإحداثيات الكروية $\vec{F}(r, \theta,\varphi)$
$\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}$

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل دلتا ($\nabla$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرجGradient	$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl	$\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence	$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian	$\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f$	مركب من عمليتي التشعب والتغير.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.