نهاية أحادية الجانب

الوظيفة $f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),$ أين $\operatorname {sign} (x)$ تشير إلى وظيفة الإشارة ، ولها حد أيسر من $-1,$ حد الحق $+1,$ وقيمة الدالة $0$ في هذه النقطة $x=0.$

تشير نهاية أحادية الجانب في حساب التفاضل والتكامل إلى أنَّ أحد حدي الدالة $f(x)$ متغير حقيقي $x$ يقترب من نقطة محددة إما من اليسار أو من اليمين.

النهاية تكون عندما ينقص المتغير $x$ ويقترب $a$ ( فإن المتغير $x$ يقترب من $a$ "من اليمين" أو "من أعلى") ويمكن الإشارة إليها كما يلي:

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)$$

نهاية $x$ تزداد في القيمة لتقترب من $a$ ( $x$ يقترب من $a$ "من اليسار" أو "من الأسفل") يمكن الإشارة إليها كما يلي:

$$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)$$

إذا كان المتغير $x$ في الدالة $f(x)$ يقترب من $a$ إذن النهايات من اليسار ومن اليمين كلاهما موجودان ومتساويان. في بعض الحالات التي يكون فيها الحد غير موجود، مع ذلك فإن الحدين أحادييّ الجانب موجودان:

$$\lim _{x\to a}f(x)$$

وبالتالي ، فإن المتغير $x$ الذي يقتر من $a$ يُطلق عليه أحيانًا "نهاية ذات وجهين". 

من الممكن أن يوجد أحد النهايتين من جهة واحدة فقط (بينما الأخرى غير موجودة). من الممكن أيضًا عدم وجود أي من النهايتين أحاديتا الجانب.

التعريف الرسمي

تعريف

إذا كان $I$ يمثل بعض الفترات المضمنة في المجال $f$ و كانت $a$ نقطة في $I$ والنهاية للمتغير $x$ تقترب من الجانب الأيمن من $a$ يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمة $R$ التي تحقق: 

$${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,$$

والنهاية من الجهة اليسرى للمتغير $x$ عندما يقترب من $a$ يمكن تعريفها بدقة على أنها القيمة $L$ التي تحقق:

$${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .$$

وبشكل تجريدي ومجمل لما يسبق، يمكننا القول:

لو كانت $I$ تمثل المجال الفاصل حيث $I\subseteq \mathrm {domain} (f)$ ، و $a\in I$ .

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))$$

$$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))$$

حدسية

بالمقارنة مع التعريف الرسمي لنهاية الدالة عند نقطة ما ، فإن النهاية أحادية الجانب تعمل فقط مع قيم الإدخال إلى جانب واحد من قيمة الإدخال التي اقترب منها المتغير.

$$\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$$

لتعريف النهاية أحادية الجانب علينا تعديل هذه المتباينة. لاحظ أن المسافة المطلقة بين $x$ و $a$ يكون

$$|x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|$$