قاعدة لوبيتال

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

قاعدة أوبيتال في التحليل الرياضي تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة في معظم الكسور. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.

مبدأ نظرية اوبيتال[عدل]

فليكن a عددا حقيقيا أو حتى \pm\infty، بحيث تكون الدوال الحقيقية f وg معرّفة بقرب a وg مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر f/g في a، بحيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية

ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.

نص قواعد أوبيتال[عدل]

النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتان للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر \frac

{f'(a)}{g'(a)} معرّفا :

لو كان "f" و"g" دالتين قابلتان للاشتقاق في "a"، ومساويتين للصفر في a وحيث يكون الكسر \frac{f'(a)}{g'(a)} معرّفا، فإن

\lim_{x \rightarrow  a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}.

و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

التعميم الأول على دوال، بحيث \frac {f'(a)}{g'(a)} غير موجود بالضرورة.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ وحيث نهايتهما في a، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان \lim_{x \rightarrow  a} \frac{f'(x)}{g'(x)}  = L فإن \lim_{x \rightarrow  a} \frac{f(x)}{g(x)}= L.

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[ ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[ ولو كانت \lim_{x \rightarrow  a} \frac{f'(x)}{g'(x)}  = L فإن \lim_{x \rightarrow  a} \frac{f(x)}{g(x)}= L.

هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ]b ; a[.

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ \pm \infty.

الاستعمالات[عدل]

في حالة « 0/0 »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :


  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2+3x}
  = \frac{\cos(0)}{2 \times 0 + 3}
  = \frac{1}{3}

في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :


  \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = +\infty

أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

 \lim_{x \to 0}\frac{\cos(2x) - 1}{x^3 + 5x^2}
  = \lim_{x \to 0}\frac{-2\sin(2x)}{3x^2 + 10x}
  = \lim_{x \to 0}\frac{-4\cos(2x)}{6x + 10}
  = \frac{-2}{5}

و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :


  \lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x}
  = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\sqrt{1 - 1/x}}{1/x}
  = \lim_{h \to 0}\frac{1-\sqrt{1 - h}}{h}
  \lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x}  = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-h}}}{1}
  = \frac{1}{2}

نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

موجودة :

 \lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0}x\sin(1/x) = 0

في حين أن :

 \frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1} ليس لها نهاية في الصفر.

في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\, وg(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))\,، فإن
 f'(x) = 2\cos^2(x)\, وg'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))\,

و بالتالي

\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0

و لكن

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{e^{\sin(x)}} لا تملك نهاية في + \infty لأن \frac{1}{e^{\sin(x)}}

تتذبذب بين 1/e وe.

الاستدلالات[عدل]

الاستدلال على الصيغة البسيطة

إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)}
بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a وأن الكسر \frac{f'(a)}{g'(a)} معرّف، نستطيع أن نؤكد أن
1. g'(a) مخالف للصفر، وبالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]
2. \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}

الاستدلال على التعميم الأول

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لـمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت g'(x) مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ بحيث :
\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
بما أن g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]
لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}.
بما أن \lim_{x \to a} c = a وأن \lim_{x \to a} \frac{f'(a)}{g'(a)} = L، فإنه بالمثل لـ \lim_{x \to a}  \frac{f(x)}{g(x)}.

الاستدلال على التعميم الثاني

يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن g'(x) مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x وy مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]
في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث  \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه g(x) مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :
f(x) = (g(x) - g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)} + f(y)
\frac{f(x)}{g(x)} = \left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right)\frac{f'(c)}{g'(c)}+\frac{f(y)}{g(x)}
بما أن \lim_{t \to a} \frac{f'(t)}{g'(t)} = L، وc تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون \frac{f'(c)}{g'(c)} قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.

للنهايات في \pm \infty، يكفي أن نضع x = 1/t ونحاول أن نجد نهاية في 0.

لتكن f وg دالتين معرّفتين على [M> 0 ; + \infty[، قابلتين للاشتقاق على ]M ; + \infty[، إذا كانت g'(x) مخالفة للصفر وكانت \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L فإن
\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{(-1/t^2)f'(1/t)}{(-1/t^2)g'(1/t)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L