تكامل حجمي

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

التكامل الحجمي (بالإنكليزية: Volume integral) أحد أنواع حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وهو كما يوحي اسمه تكامل في ثلاثة أبعاد يعطي حجم منطقة محددة بدالة.

الصياغة الرياضية

$\operatorname{Vol}(D)=\iiint\limits_D dx\,dy\,dz.$

كما يمكن أن يعبر عن تكامل متعدد لدالة معينة $f(x,y,z),$ ضمن المنطقة D في المجال R³.حيث تصاغ عموما وفقا للتالي:

$\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$

أما في الإحداثيات الإسطوانية

$\iiint\limits_D f(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz,$

أما في الإحداثيات الكروية (حيث φ هي زواية سمت الرأس) فتكتب بالصيغة التالية.

$\iiint\limits_D f(\rho,\theta,\phi)\,\rho^2 \sin\theta \,d\rho \,d\theta\, d\phi .$

مثال

لإيجاد حجم مكعب صول ضلعه 1 أي أن $f(x,y,z) = 1$ باستخدام التكامل الحجمي فإن:

$\int\limits_0^1\int\limits_0^1\int\limits_0^1 1 \,dx\, dy \,dz = \int\limits_0^1\int\limits_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int\limits_0^1 (1 - 0) dz = 1 - 0 = 1$

أذن حجمه كما يظهر باستعمال التاكمل الحجمي يساوي واحد ويمكن تعميم هذا المثال واستعمال التكامل الحجمي لإيجاد حجم أمثلة بسيطة أخرى كإيجاد حجم كرة نصف قطرها 2 أو حجم نصف كرة نصف قطرها4 أو حجم إسطوانه أو أشكال معقدة مثل الهرم وغيرها. كما يمكن تطوير أداة التكامل الحجمي لإيجاد للحصول على نتائج أكثر. فلو افترضنا أن كمية قياسية ما بحيث $\begin{align} f\colon \mathbb{R}^3 &\to \mathbb{R} \end{align}$ تصف كثافة المكعب التي سبق حساب حجمه عند نقطة معينة ولتكن $(x,y,z)$ by $f = x+y+z$ ُفإن تكامل الحجمي لهذه الدالة ضمن المكعب 1X1X1 يعطينا كتلة المكعب الكلية كما يلي:

$\int\limits_0^1\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \left(x + y + z\right) \, dx \,dy \,dz = \int\limits_0^1\int\limits_0^1 \left(\frac 12 + y + z\right) \, dy \,dz = \int \limits_0^1 \left(1 + z\right) \, dz = \frac 32$.

كما يمكن الربط بين التكامل السطحي المغلق وبين التكامل الحجمي وفق مبرهنة التباعد.