كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتوروريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق.
أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هو التابعية، نقول أن الشيء تابع للمجموعة ونرمز لذلك ب- اذا كان أحد اعضاء المجموعة . وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك.
علاقة ثنائية اخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن هي مجموعة جزئية للمجموعة اذا كل عضو تابع أيضا للمجموعة اي: . نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: ونقول أيضا:A ضمن B. اذا تحقق أيضا أنَّ حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: .و نقول أيضا:A ضمن B قطعا.
عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B. أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B
عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB. أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.
عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A و لا تنتمي إلى B. أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B
بالرموز:
أمثلة:
الأعداد الفردية == الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط. أي أن عنصر x ينتمي إلى إذا وفقط إذا(x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)
بالرموز:
المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.
^Set Theory from Cantor to Cohen», Akihiro Kanamori, dans : Andrew Irvine et John H. Woods (éditeurs), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press, 2008.