مستو (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من مستو)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مستويان متقاطعان في الفضاء

في الرياضيات، المستوي (بالإنجليزية: Plane) ويسمى أيضا المستوى (بألف مقصورة) هو أي جزء من الفضاء ينطبق عليه المستقيم الموازي له مهما تم تغيير اتجاهه على محور عمودي على المستوى. فإذا لم يكن للنقطة بعد، والمستقيم من بعد واحد, والفضاء من ثلاثة أبعاد فإن المستوى يتكون من بعدين فقط هما الطول والعرض، أو هو الشكل الهندسي الناتج عن دوران المستقيم حول محور عمودي عليه.

الهندسة المستوية هي تطبيقات على مستقيمات ونقط تنتمي إلى مستوى واحد، ولكن في الهندسة الفراغية فيمكن أن يكون هناك أكثر من مستوي باتجاهات مختلفة.

الهندسة الإقليدية[عدل]

ثلاثة مستويات متوازية.

المستويات في ℝ3[عدل]

خصائص[عدل]

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، تتحقق الخصائص الآتية (والتي لا تتحقق إذا كان عدد الأبعاد يتجاوز الثلاثة) :

  • مستويان قد يكونا متوازيين و قد يكونا متقاطعين في مستقيم ما. لا ثالث لهاتين الحالتين.
  • مستقيم ما قد يكون موازيا لمستوى ما، أو قد يكون متقاطعا معه في نقطة، أو قد يكون ضمنه.
  • مستقيمان عموديان على نفس المستوى هما مستقيمان متوازيان.
  • مستويان عموديان على نفس المستقيم هما مستويان متوازيان.

تعريف مستوى بنقطة ومستقيم[عدل]

تعريف مستوى بنقطة ومستقيم تنتمي إلى المستوى[عدل]

تعريف مستوى بثلاث نقط[عدل]

كل ثلاث نقط لا تقع على استقامة واحدة تمثل مستوى واحدا. ليكن p1=(x1, y1, z1), p2=(x2, y2, z2), و p3=(x3, y3, z3) ثلاث نقط لا تنتمي إلى نفس المستقيم.

الطريقة الأولى[عدل]

المستوى المار بالنقط p1, p2, و p3 يمكن أن يحدد بشكل وحيد بكونه مجموعة جميع النقط (x,y,z) اللائي يحققن معادلات المحدد التالية:

\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1 \\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1
\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}
x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\
x - x_2 & y - y_2 & z - z_2 \\
x - x_3 & y - y_3 & z - z_3
\end{vmatrix} = 0.

الطريقة الثانية[عدل]

من أجل تحديد معادلة مستوى على الشكل  ax + by + cz + d = 0 , ينبغي حلحلة نظام المعادلات التالي:

\, ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0
\, ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0
\, ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.

يمكن أن يُحلحل هذا النظام باستعمال قاعدة كرامر بالإضافة إلى التعامل مع العمليات الأساسية للمصفوفات. ليكن

D = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2 \\
x_3 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}.

إذا كان D مختلفا عن الصفر (الأمر كذلك بالنسبة للمستويات اللائي لا يمررن بأصل المَعلم) قيم الأعداد a و b و c يمكن أن يُحسبن كما يلي:

a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
1 & y_1 & z_1 \\
1 & y_2 & z_2 \\
1 & y_3 & z_3
\end{vmatrix}
b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & 1 & z_1 \\
x_2 & 1 & z_2 \\
x_3 & 1 & z_3
\end{vmatrix}
c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{vmatrix}.

تتعلق هذه المعادلات بالعدد d. بإعطاء قيمة معينة مختلفة عن الصفر للعددd وبتعويضها في هذه المعادلات سيعطي مجموعة حلول واحدة.

الطريقة الثالثة[عدل]

يمكن أن يُحدد هذا المستوى أيضا بنقطة وبالمتجهة العمودية. تعطى متجهة مناسبة لهذا الهدف باستعمال الضرب الاتجاهي

\bold n = ( \bold p_2 - \bold p_1 ) \times ( \bold p_3 - \bold p_1 ),

أما بالنسبة للنقطة r0 فيمكن أن تكون واحدة من النقط الثلاث المعلومات p1,p2 أو p3.[1]

المستقيم القاطع لمستويين[عدل]

المستوي والزاوية المزدوجة[عدل]

الزاوية الزوجية تتشكل بين أي مستويين يتقاطعان.

المستويات في مختلف تخصصات الرياضيات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Dawkins، Paul، "Equations of Planes"، Calculus III 

وصلات خارجية[عدل]