وحدة (نظرية الحلقات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

الوحدة أو العنصر القابل للعكس هي عنصر في حلقة يمتلك معكوسًا ضربيًّا. إذا كان a عددًا صحيحًا جبريًّا يقسم كل عدد صحيح جبري في الحقل، تُسمَّى a حينها وحدة في ذاك الحقل. يمكن لحقل ما أن يحتوي عددًا غير منتهٍ من الوحدات. وحدات \mathbb{Z\!}_n هي العناصر الأولية فيما بينها وبين n. وتسمى الوحدات المربعة الكاملة في \mathbb{Z\!}_n البواقي التربيعية.

كل الحقول التربيعية الحقيقية \mathbb{Q\!}(\sqrt{D\!}) تمتلك الوحدتين \pm1. أعداد الوحدات في الحقل التربيعي التخيلي \mathbb{Q\!}(\sqrt{-D\!}) حيث D\! = 1, 2, ... هي 4, 2, 6, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 6, 2, ... (طالع هذه المتتالة من Oeis.org). ويوجد أربع وحدات لكل D\! = 1, 4, 9, 16, ... (طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة)، وستٌ لكل D\! = 3, 12, 27, 48, ... (طالع هذه المتتالية، وهي الأعداد المربعة الكاملة مضروبةً في ثلاثة)، واثنتان لكل الحقول التربيعية التخيلية الأخرى، أي D\! = 2, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... (طالع هذه المتتالية). الجدول التالي يوضح الوحدات لقيم صغيرة لـ D\!، وتشير \omega إلى الجذر المكعب للوحدة.[1]

D\! وحدات \mathbb{Q\!}(\sqrt{-D})
1 \pm1, \pm{i}
2 \pm1
3 \pm1, \pm\omega, \pm\omega^2

مصادر[عدل]





Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.