مبرهنة كلفن-ستوكس: الفرق بين النسختين

تصفح التاريخ تفاعلياً

[نسخة منشورة]

→ التعديل السابق التعديل اللاحق ←

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى

مرئينص الويكي

مضمن

نسخة 23:47، 17 يوليو 2020

مبرهنة كلفن–ستوكس، ^[1]^[2] سميت نسبةً للرياضياتيين لورد كلفن وجورج ستوكس، معروفة أيضًا باسم مبرهنة ستوكس،^[3] أو مبرهنة ستوكس الأساسية للدوران أو ببساطة مبرهنة الدوران،^[4]هي مبرهنة في حساب المتجهات على $\mathbb {R} ^{3}$ . بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.

إذا كان الحقل المتجهي $\mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ معرفة في منطقة ذات سطح ناعم موجه $\Sigma$ وله مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الأولى، فإن:

{\begin{aligned}\iint \limits _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} &=\iint \limits _{\Sigma }{\Bigg (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy{\Bigg )}\\&=\oint \limits _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}=\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ,\end{aligned}}

حيث $\partial \Sigma$ هي حدود المنطقة ذات سطح ناعم $\Sigma$ .

يمكن ذكر مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه من خلال السطح المغلق.

مبرهنة كلفن-ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة.^[5]^[6] على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على $\mathbb {R} ^{3}$ كأحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.

مراجع

^ Nagayoshi Iwahori, et al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou(jp) 1983/12 (ردمك 978-4-7853-1039-4) [1](Written in Japanese)
^ Atsuo Fujimoto;"Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" Bai-Fu-Kan(jp)(1979/01) (ردمك 978-4563004415) (Written in Japanese)
^ Stewart، James (2012). Calculus - Early Transcendentals (ط. 7th). Brooks/Cole Cengage Learning. ص. 1122. ISBN:978-0-538-49790-9.
^ Griffiths، David (2013). Introduction to Electrodynamics. Pearson. ص. 34. ISBN:978-0-321-85656-2.
^ Conlon، Lawrence (2008). Differentiable Manifolds. Modern Birkhauser Classics. Boston: Birkhaeuser.
^ Lee، John M. (2002). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ج. 218.

[iwahori-1] Nagayoshi Iwahori, et al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" Sho-Ka-Bou(jp) 1983/12 (ردمك 978-4-7853-1039-4) [1](Written in Japanese)

[fujimno-2] Atsuo Fujimoto;"Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" Bai-Fu-Kan(jp)(1979/01) (ردمك 978-4563004415) (Written in Japanese)

[3] Stewart، James (2012). Calculus - Early Transcendentals (ط. 7th). Brooks/Cole Cengage Learning. ص. 1122. ISBN:978-0-538-49790-9.

[4] Griffiths، David (2013). Introduction to Electrodynamics. Pearson. ص. 34. ISBN:978-0-321-85656-2.

[DTPO-5] Conlon، Lawrence (2008). Differentiable Manifolds. Modern Birkhauser Classics. Boston: Birkhaeuser.

[lee-6] Lee، John M. (2002). Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ج. 218.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ سطر 1: / سطر 1: @@
-{{ميز|مبرهنة ستوكس}}{{تفاضل وتكامل}}
+{{ميز|مبرهنة ستوكس}}
+{{تفاضل وتكامل}}
-[[File:Stokes'_Theorem.svg|وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Stokes'_Theorem.svg|يمين|تصغير|رسم توضيحي لمبرهنة كلفن-ستوكس, مع السطح {{math|Σ}}, وحدوده {{math|∂Σ}} والمتجه الناظمي {{mvar|n}}.]]
+[[ملف:Stokes'_Theorem.svg|يسار|تصغير|رسم توضيحي لمبرهنة كلفن-ستوكس, مع السطح {{math|Σ}}, وحدوده {{math|∂Σ}} والمتجه الناظمي {{mvar|n}}.]]
 '''مبرهنة كلفن–ستوكس'''، <ref name="iwahori">[[Nagayoshi Iwahori]], et al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" [[:ja:裳華房|Sho-Ka-Bou]](jp) 1983/12 {{ISBN|978-4-7853-1039-4}} [http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1039-4.htm](Written in Japanese)</ref><ref name="fujimno">Atsuo Fujimoto;"Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" [[:ja:培風館|Bai-Fu-Kan]](jp)(1979/01) {{ISBN|978-4563004415}}  (Written in Japanese)</ref> سميت نسبةً للرياضياتيين [[لورد كلفن]] و<nowiki/>[[جورج جابرييل ستوكس|جورج ستوكس]]، معروفة أيضًا باسم '''مبرهنة ستوكس'''،<ref>{{Cite book|title=Calculus - Early Transcendentals|last=Stewart|first=James|publisher=Brooks/Cole Cengage Learning|year=2012|isbn=978-0-538-49790-9|edition=7th|location=|pages=1122}}</ref> أو  '''مبرهنة ستوكس الأساسية للدوران''' أو ببساطة '''مبرهنة الدوران'''،<ref>{{Cite book|title=Introduction to Electrodynamics|last=Griffiths|first=David|publisher=Pearson|year=2013|isbn=978-0-321-85656-2|location=|pages=34}}</ref>هي مبرهنة في [[حساب المتجهات]] على <math>\mathbb{R}^3</math>. بالنظر إلى [[حقل شعاعي|حقل متجهي]]، تربط المبرهنة [[تكامل]] [[دوران (تحليل رياضي)|دوران]] الحقل المتجهي على بعض السطح، ب<nowiki/>[[تكامل خطي|التكامل الخطي]] للحقل المتجهي حول حدود السطح.