متسلسلة قوى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنكليزية: Power series) (ذات المتغير الواحد) هي عبارة عن متسلسلة لامنتهية على الشكل

f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

حيث تمثل an معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، المركز c يكون مساويا للصفر, مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين. في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

أمثلة[عدل]

الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود n+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : f(x) = x^2 + 2x + 3 يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

المتسلسلة الهندسية :  \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, حيث أنَّ 1 >|x| .

  • معادلة الدالة الاسية :  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
  • معادلة الجيب :  \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

الاثنين الاخيرين هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور .

قطر ومجال التقارب[عدل]

اذا متسلسلة القوى تتقارب في النقطة x=\alpha حينها المتسلسلة تتقارب بالتاكيد لكل x الذي يحقق |x|<|\alpha| . مجال التقارب هو القطعة المفتوحة (-\alpha,\alpha) .

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R , (0 \le R < \infty ) حيث انه لكل x الذي يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب واذا |R < |x المتسلسلة لا تتقارب . اذا R=0 المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0 . اذا R=&infty; حينها المتسلسلة تتقارب لكل R . x يسمى قطر التقارب للمتسلسلة .

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n هو :

R=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}


العمليات على متسلسلات القوى[عدل]

الجمع والطرح[عدل]

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

إذن

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

الضرب والقسمة[عدل]

التفاضل والتكامل[عدل]


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

الدوال التحليلية[عدل]

يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها تحليلية إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل.

متسلسلات القوى ذات العديد من المتغيرات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]