مبرهنة ستوكس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، تعرف مبرهنة ستوكس أو مبرهنة ستوكس المعممة (بالإنجليزية: Stokes' theorem أو Generalized Stokes theorem)‏ بأنها [1] هي بيان حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تقول مبرهنة ستوكس أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي

تمت صياغة مبرهنة ستوكس في شكلها الحديث من قبل إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوارد غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850.[2][3][4] وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان جائزة سميث [الإنجليزية] 1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861.[4][5] ترتبط مبرهنة كلفن-ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي F على سطح (أي، تدفق دوران F) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم "التكامل العروي")

التفسير الرياضياتي

ليكن γ: [a, b] → R2 منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن γ يقسم R2 إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل γ ونفترض أن ψ: DR3 ناعم، مع S := ψ(D). إذا كانت Γ المنحنى الفضائي المعرف بـ Γ(t) = ψ(γ(t))[ملاحظة 1] و F حقل متجهي ناعم على R3، إذن:[6][7][8]

حيث يشير إلى المؤثر التفاضلي "دوران".

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل ، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.

هوامش[عدل]

  1. ^ γ و Γ كلاهما عُرْوات (loops)، ومع ذلك، Γ ليس بالضرورة منحنى جوردان

المصادر[عدل]

  1. ^ Physics of Collisional Plasmas – Introduction to | Michel Moisan | Springer (باللغة الإنجليزية). مؤرشف من الأصل في 03 أبريل 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. ^ See:
  3. ^ Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England. صفحة 146. ISBN 0198505930. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. أ ب Spivak (1965), p. vii, Preface.
  5. ^ See:
  6. ^ Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  7. ^ This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (جامعة باث, U.K) [1], please refer the [2] نسخة محفوظة 3 أغسطس 2019 على موقع واي باك مشين.
  8. ^ This proof is also same to the proof shown in