حسبان بمتعددات الحدود

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:

\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)' = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}

و

\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + C \,\!.

لذلك, تكون مشتقة x^{100} هي 100x^{99} والتكامل غير المحدود للقيمة x^{100} هو \frac{x^{101}}{101}+C حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل وبرهانها, ومن ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.

قاعدة القوة[عدل]

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة f(x)=x^n \! هي f'(x)=nx^{n-1}\!, وبالتالي تكون القاعدة هي

\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.

و قاعدة القوة للتكامل هي

\int\! x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

البرهان[عدل]

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

و عند تعويض  f(x) = x^n ستكون المعادلة على النحو التالي

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}.

ثم يمكن للمرء التعبير عن (x+h)^n باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n} {{n \choose i} x^i h^{n-i}}-x^n}{h}.

يمكن كتابة الحد i = n من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i}} + x^n -x^n}{h}.

و بسبب إلغاء قيم الحدود x^n ستكون المعادلة

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i}}}{h}.

و يمكن إخراج قيمة h من جميع الحدود من المجموع للحصول على

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{h\sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i-1}}}{h}.

و بذلك يمكننا إلغاء قيم h من المقام والحصول على

f'(x) = \lim_{h\rarr0} \sum_{i=0}^{n - 1} {{n \choose i} x^i h^{n-i-1}}.

و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن  n-i-1 > 0 لكل i < n - 1 وتساوي صفر لكلi=n-1. لذلك نجد قيمة h^0 فقط عندما يكون i = n - 1, وبالتالي تكون المعادلة

f'(x) = {n \choose {n-1}} x^{n-1}.

و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

{n \choose {n-1}} = \frac{n!}{(n-1)!\ 1!} = \frac{n\ (n-1)!}{(n-1)!} = n.

و بالتالي هذه المعادلة

f'(x) = n x^{n-1}. \!

تفاضل متعددات الحدود الكيفية[عدل]

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:

\left(\sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' =
\sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}.

و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي

\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + c.

تعميم[عدل]

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي

\left(x^a\right)' = ax^{a-1}

عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع

\int \! x^{-1}\, dx= \ln x+c,

سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

المراجع[عدل]

  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.