نهاية دالة

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471
0.1	0.998334
0.01	0.999983

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول "نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر." وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :

الدالة f لها نهاية L عند النقطة p, مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.

نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيثf-L|<ε|.

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x ل a إذا وُجد لكل عدد 0 < ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ > |x-a| > 0 تستلزم ان العلاقة |ε > |f(x) - b تكون متحققة .

وبنص اخر, إذا كانت b هى نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

خصائص

قاعدة التسلسل

$\lim _{y\to d}f(y)=e$, و $\lim _{x\to c}g(x)=d\Rightarrow \lim _{x\to c}f(g(x))=e$

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد $\delta >0$ حيث إذا توفر $0<|x-c|<\delta$ فإن $|g(x)-d|>0$).

قاعدة لوبيتال

المقالة الرئيسة: قاعدة لوبيتال

انظر أيضا

• نهاية متتالية,
• قاعدة لوبيتال,