نهاية متتالية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات, نهاية متتالية هي القيمة التي تتقارب إليها قيم أعضاء هذه المتتالية. وإذا كانت قيم أعضاء المتتالية تتقارب إلى قيمة محددة نقول أن تلك المتتالية "منتهية". إذا كانت المتتالية منتهية فتوجد لها نهاية، أما إذا كانت المتتالية غير منتهية (مثل متتالية الأعداد الطبيعية) فلا توجد لها نهاية. و كما توجد نهايات لبعض الدوال فإنه توجد أيضا نهايات لبعض المتتاليات. دراسة نهايات المتتاليات مهمة لأنها تسمح بدراسة متتاليات الدالات في فضاء متجهات وهذا مهم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية.

الأعداد الحقيقية[عدل]

تعريف[عدل]

متتالية أويلر

يكون العدد الحقيقي x، نهاية للمتتالية xn إذا توفر الشرط التالي:

بالنسبة لأي عدد ε > 0، يوجد عدد طبيعي N حيث لكل عدد n \geq N, تتحقق المتراجحة |x_n - x| < \epsilon.

أمثلة[عدل]

يظهر في الشكل رسم بياني لدالة مطابقة للمتتالية {س ن} = (١+١/ن)ن وهي نهاية منتهية ونهايتها

نها ن ← ∞ {سن} == نها س ← ∞ (1+1/ن)ن == ٢٫7١٨٢٨١٨

يمثل الخطان القرمزى والبرتقالى مسافة هـ من قيمة المتتالية عند نقطة (ن، سن).

خصائص[عدل]

نهايات المتتاليات تتصرف بشكل طبيعي عندما يتعلق الأمر بالعمليات الحسابياتية. إذا توفر الشرطان a_n \to a و b_n \to b, فإن a_n+b_n \to a+b و a_nb_n \to ab, وإذا لم يكن b مساويا للصفر ولم تكن أي قيمة لb_n مساوية الصفر، فإن a_n/b_n \to a/b.

و يلاحظ تطابق خواص نهايات المتتاليات مع مثيلاتها من خواص نهايات الدالات وكذلك خواص الاشتقاقات.

إذا كانت f دالة متصلة، وتوفر x_n \to x, فإن f(x_n) \to f(x). بالفعل، تكون دالة ما متصلةً إذا وفقط إذا كانت تحافظ على نهايات المتتاليات.

المتتاليات غير المنتهية[عدل]

الفضاءات الطوبولوجية[عدل]

تعريف[عدل]

لنفرض وجود x1, x2,... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T. نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة ونكتب

نهاس ← ∞ س ن = ل

 \lim_{n \to \infty} x_n = L

إذا وفقط إذا كان :

من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث xn ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N.

خصائص[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]