من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
الجداء النقطي [1] الضرب النقطي أو الجداء القياسي أو الضرب القياسي أو الجداء السُّلَّمِيّ [2] بالإنجليزية : Dot product ) هو عمليةٌ جبرية بين متجهين ونتيجتها كمية قياسية .
تعريف [ عدل ] تعريف جبري عام [ عدل ] ليكن
E
{\displaystyle E}
فضاء متجهي حقيقي (معرف على حقل الأعداد الحقيقية
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
نعرف الجداء السُلمي على أنه كل دالة
⟨
⋅
|
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }
⟨
⋅
|
⋅
⟩
:
E
×
E
⟶
R
(
x
,
y
)
⟼
⟨
x
|
y
⟩
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }:\quad &E\times E\longrightarrow \mathbb {R} \\&(x,y)\longmapsto \displaystyle \langle x|y\rangle \\\end{alignedat}}}
∀
x
,
y
,
z
∈
E
∀
a
,
b
∈
R
{\displaystyle \forall x,y,z\in E\quad {\mathcal {\forall }}a,b\in {\displaystyle \mathbb {R} }}
⟨
x
|
y
⟩
=
⟨
y
|
x
⟩
{\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle }
⟨
a
x
+
b
y
|
z
⟩
=
a
⟨
x
|
z
⟩
+
b
⟨
y
|
z
⟩
{\displaystyle \langle ax+by|z\rangle =a\langle x|z\rangle +b\langle y|z\rangle }
⟨
x
|
x
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle x|x\rangle \geq 0}
⟨
x
|
x
⟩
=
0
⟺
x
=
0
E
{\displaystyle \langle x|x\rangle =0\quad \Longleftrightarrow \quad x=0_{E}}
تعريف على
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
[ عدل ] الضرب القياسي الاعتيادي
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
y
=
(
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
)
{\displaystyle y=(y_{1},y_{2},...,y_{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
[3]
⟨
x
|
y
⟩
=
x
⋅
y
:=
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
⋯
+
x
n
y
n
{\displaystyle \langle x|y\rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}
على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
(
1
,
−
3
,
5
)
{\displaystyle (1,-3,5)}
(
−
1
,
−
2
,
4
)
{\displaystyle (-1,-2,4)}
(
−
1
,
−
2
,
4
)
⋅
(
1
,
−
3
,
5
)
=
(
−
1
)
×
1
+
(
−
2
)
×
(
−
3
)
+
4
×
5
=
−
1
+
6
+
20
=
25
{\displaystyle (-1,-2,4)\cdot (1,-3,5)=(-1)\times 1+(-2)\times (-3)+4\times 5=-1+6+20=25}
تعريف هندسي [ عدل ] الجداء القياسي بين متجهتين تكونان زاوية حادة
θ
{\displaystyle \theta }
في الفضاء الإقليدي ، صيغة أخرى لحاصل الضرب القياسي
A
⋅
B
=
A
B
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos \theta }
حيث A هو طول المتجه A وB هو طول المتجه B وθ هي الزاوية المحصورة بينهما.
خصائص [ عدل ] تبديلي :
a
⋅
b
=
b
⋅
a
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}
تنبثق هذه الخاصية من تعريف الجداء القياسي (θ هي الزاوية المحصورة بين a وb)
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
θ
=
‖
b
‖
‖
a
‖
cos
θ
=
b
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta =\|\mathbf {b} \|\|\mathbf {a} \|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }
توزيعي على جمع المتجهات : (a.b + a.c = a.(b+cتعامدي : متجهتان a وb مختلفتان عن الصفر يكونان متعامدتين إذا وفقط إذا توفر a.b = 0.لا إلغاء : تطبيق لقانون الجيب التمام [ عدل ] مثلث ضلعاه a وb تفصلهما زاوية θ.
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
−
b
⋅
a
+
b
⋅
b
=
a
2
−
a
⋅
b
−
a
⋅
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
⋅
b
+
b
2
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}}
وهذا هو قانون الجيب التمام . وتعبر أيضا عن خاصية الكاشي
في الفيزياء [ عدل ] الجداء القياسي يعبر عن كميات عددية لا علاقة لها برسم شعاع مثل (الجهد، العزم ....)
تعميمات [ عدل ] الجداء الداخلي [ عدل ] انظر إلى فضاء متجهي معياري .
انظر أيضا [ عدل ] مراجع [ عدل ] وصلات خارجية [ عدل ] 
