دالة رياضية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

مخطط التابع $\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}$

الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق $X \!$ عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر $Y \!$ . أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow f(x) \!$

ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :

لكل تابع مجموعة منطلق (أو نطاق Domain )غالباً ما تدعى $X \!$ .
لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى $Y\!$ .
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق $X \!$ ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر $Y \!$ .
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر $Y \!$ أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق $X \!$ .

فاذا كان المنطلق (المجال) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير المستقل x ، فإن المستقر أو النطاق المرافق (المجال المقابل) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة $f(x)\!$ .

المجال المقابل ( أو المدى ) Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f .

و يجب عدم الخلط بين المجال و المستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .

غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها $R$ (الدوال العددية), أو $C$ (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.

[عدل] أمثلة

لنأخذ الدالة : $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow x^2 \!$

أي أن $f(x)=x^2 \!$

بأخد $x = 2$ نكتب $f (2) = 4$ ، هنا بالتعرف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف $f \!$ . عندئذ نجد أن العنصر $x = 2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر $y = 4$ من المستقر فقط. العنصر $x = - 2$ من المنطلق (أو المجال) $X \!$ يرتبط بالعنصر $y = 4$ فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر $y = 4$ من المستقر أن يرتبط بعنصرين $x = 2$ و $x = - 2$ من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .

بالمقابل

$\mathrm{Root}(x) = \pm\sqrt{x}$

ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل $x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد 9 قد يحتمل قيمتين هما 3 و -3. لهذا، إذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

$\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt{x}, \quad \forall x\ge 0$ ،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

[عدل] مجال الدالة

إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل س ( تسمى المجال أو النطاق أو المنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل ص (تسمى المجال المقابل أو المستقر أو النطاق المرافق)، هو اقتران من المجموعة س إلى المجموعة ص، والمقصود رياضيا بالاقتران هو (دالة أو تابع أو تطبيق أو مدى)، وللاقتران أو الدالة ثلاث مكونات: مجال(منطلق)، ومجال مقابل (مستقر)، وقاعدة تربط أي عنصر من عناصر المجال (منطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر المجال المقابل (المستقر). والمجموعة الجزئية من المجال المقابل التي تتكون من جميع صور عناصر المجال تسمى مجال الدالة أو (مدى الاقتران). أي أن مجال الدالة أو مدى الاقتران هو مجموعة جزئية من المجال المقابل للاقتران. فمثلا : ص = د(س) = 7س + 9.

وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (اقتران مركب)، والدالة التحليلية (اقتران تحليلي) ، والدالة الثابتة (اقتران ثابت)، والدالة المستمرة (اقتران متصل)، والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)، والدالة الضمنية (اقتران ضمني)، والدالة الأسية (اقتران أسي)، والدالة الزوجية (اقتران زوجي)، والدالة الصريحة (اقتران صريح)، والدالة المتطابقة (اقتران محايد)، والدالة الفردية (اقتران فردي)، والدالة العكسية (اقتران عكسي)، والدالة الشاملة (اقتران شامل).

[عدل] تاريخ

تمت صياغة المصطلح "function" باللغة الإنكليزية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

بوابة رياضيات تصفح مقالات ويكيبيديا المهتمة بالرياضيات.

دالة رياضية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

[عدل] أمثلة

[عدل] مجال الدالة

[عدل] تاريخ

معاينة

أدوات شخصية

الموسوعة

بحث

إبحار

المشاركة والمساعدة

صندوق الأدوات

بلغات أخرى