مشتق (رياضيات)

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ. يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

$\frac{dy}{dx}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

رمز الاشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

• صيغة جوزيف لويس لاغرانج :

$f'\left(x\right)$ أو y'، و تُقرأ ((مشتقة y))

• صيغة غوتفريد لايبنتز :

$\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}$ ،والتي تكافئ الصيغة $\frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}$

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

• صيغة إسحاق نيوتن :

$\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t)$ ،تستعمل خاصة في الفيزياء.

• صيغة ليونهارد أويلر :

$D_x f(x) \;$

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x) =\,$	المشتقة $f'(x) =\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$1 \over x\,\!$	$- {1 \over x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}\,\!$	${1 \over 2\sqrt{x}}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}_+^*$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*$
$a x^c\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos^2(x)$ أو $1+\tan^2(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$- {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\sinh(x)\,\!$	$\cosh(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\cosh(x)\,\!$	$\sinh(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a^x\,\!$	$a^x \ln a\,\!$	$a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}$
$\ln |x|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\exp{x}\,\!$	$\exp{x}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$

انظر أيضا

• أمثلة على الاشتقاق