اشتقاق (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية .و تعرف المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة . نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية . ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$

عندما Δx تقارب 0 .

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

$\frac{dy}{dx}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

[عدل] رمز الإشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، أبرزها :

صيغة جوزيف لويس لاغرانج :

$f'\left(x\right)$

صيغة غوتفريد لايبنتز :

$\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}$ ،والتي تكافئ الصيغة $\frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}$

صيغة إسحاق نيوتن :

$\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t)$ ،تستعمل خاصة في الفيزياء .

صيغة ليونهارد أويلر :

$D_x f(x) \;$

[عدل] الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي ، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر . التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

[عدل] مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x) =\,$	المشتقة $f'(x) =\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$1 \over x\,\!$	$- {1 \over x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}\,\!$	${1 \over 2\sqrt{x}}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}_+^*$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*$
$a x^c\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos^2(x)$ ou $1+\tan^2(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2} + k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$- {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a^x\,\!$	$a^x \ln a\,\!$	$a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\exp{x}\,\!$	$\exp{x}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$