مبرهنة القيمة الوسطى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

مبرهنة القيمة الوسطى هي نتيجة لمبرهنة رول.إن التغير الجزئي لكل دالة ذات متغير حقيقي متواصلة وقابلة للاشتقاق يقابل ميل إحدى مماساتها. وبأكثر دقة :

النص : لكل دالة ذات متغير حقيقي f : [a, b] -> R حيث a <b، متواصلة على النطاق المغلق [a, b] وقابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[، تؤكد مبرهنة القيمة الوسطى على وجود عدد حقيقي c موجود في النطاق ]a, b[ بحيث :

  f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

في الحقيقة، وتبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة x \mapsto f(x) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a) في a وb واحدة. وبتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ ونظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

لامساواة القيمة الوسطى[عدل]

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a <b. إذا كان :

  • f متواصلة على النطاق المغلق [a, b]
  • f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
  • يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| <k،

فإن \left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى ونضع |f'(x)| <k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة[عدل]

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. وهو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من \R في \R^2 قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

و تحت هذه الصيغة، تستعمل المبرهنة للاستدلال على قاعدة اوبيتال.

الاستدلال :

نطبق مبرهنة رول على الدالة
h(t) = (f(b) - f(a))(g(t) - g(a)) - (g(b) - g(a))(f(t) - f(a))\,
إن الدالة h متواصلة على [a ; b]، وقابلة للاشتقاق على ]a ; b[، وتساوي صفرا في a وb وبالتالي h(a)=h(b). إذن يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث h'(c) = 0. وهو ما يؤدي إلى
(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,
ولو كانت g' كذلك مخالفة للصفر على ]a ; b[ فإننا نستطيع أن نؤكد أن g(b) \ne g(a) ويكفي أن نقسم بهما فنجد
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

مبرهنة القيمة الوسطى والتكاملات[عدل]

يمكن إعادة صياغة مبرهنة القيمة الوسطى في شكل تكامل. لكل دالتين ذوات متغيّر حقيقي، u وv متواصلتين على النطاق [a ; b]، حيث v مخالفة

للصفر على [a ; b]، يوجد عدد حقيقي c من ]a، b[ حيث

\int_a^b u(t)v(t)dt = u(c) \int_a^b v(t)dt.

و هذه الكتابة منطقية نظرا لأن الدوال المتواصلة متكاملة محليا حسب ريمان.