نظرية ذات الحدين

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. و يطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي

محتويات

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x و y معرفين على مجموعة حيث xy=yx، و عددا صحيحا طبييعا n،

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

حيث الأعداد ${n \choose k}$ (و التي تكتب أحيانا $n C k$ ) هي الضوارب الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على الضوارب الثنائية الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y بـ - y داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

$(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} x^{n-k} y^k$

مثال :

$n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$n=3~,\qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,$

$n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,$

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

$n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0$

$n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1$

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الاول :

$(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,$

بتوزيعية $\cdot$ على $+$ :

$(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}$

بالتفكيك إلى جذاء :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}$

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

$(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}$

و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.