مبرهنة فيثاغورس

مبرهنة فيثاغورس
الصيغة الهندسية لنظرية فيثاغورس. مجموع مساحة المربعين الواقعين على الضلعين a و b يساوي مساحة المربع الواقع على الضلع c
النوع	مبرهنة
الصيغة	$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$
المجال	مثلث قائم
جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
سميت باسم	فيثاغورس الساموسي
صاحبها	فيثاغورس الساموسي

في الرياضيات، مبرهنة فيثاغورس، أو نظرية فيثاغورس هي علاقةٌ أساسية في الهندسة الإقليدية بين أضلاع المثلث القائم. تنص النظرية على أن مساحة المربع الذي ضلعه الوتر (المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مساحتي مربعي الضلعين الآخرين. يمكن كتابة هذه النظرية كمعادلة تتعلق بأطوال الساقين a وb والوتر c كما يلي:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

سميت النظرية باسم الفيلسوف اليوناني فيثاغورس (ولد حوالي 570 قبل الميلاد). وعلى الرغم من أن النظرية نُسبت إليه في العصور القديمة الكلاسيكية، إلا أن هناك أدلة على أن أجزاء منها كانت معروفة في الثقافات السابقة، كما تساءلت الدراسات الحديثة عما إذا كان فيثاغورس على علم بذلك. بعض المؤرخين المعاصرين يعتقدون أن نظرية فيثاغورس وجدت في الحضارة البابلية وربما علم بها فيثاغورس واستعملها بكثرة، فنسبت بإسمه.

أُثبتت هذه النظرية مرات عديدة من خلال العديد من الطرق المختلفة ربما أكثر من أي نظرية رياضية أخرى. هناك براهين متنوعة بما في ذلك البراهين الهندسية والبراهين الجبرية وبعضها يعود إلى آلاف السنين.

جذبت نظرية فيثاغورس اهتمامًا خارج الرياضيات باعتبارها تمثيلًا للغموض الرياضي أو القوة الفكرية أو الغموض. وهناك مراجع عديدة لها في الأعمال الشعبية مثل الأدب والمسرحيات والمسرحيات الموسيقية والأغاني والطوابع والرسوم المتحركة.

المبرهنة

نظرية فيثاغورس المباشرة

إذا كانت c تشير إلى طول الوتر وكانت a و b تشير إلى طول أضلاع مثلث قائم الزاوية، فيمكن التعبير عن نظرية فيثاغورس كما يلي:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

مثال: إذا كان b=3 و a=4 فإن $a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25=c^{2}\,$ ومنها $c=5\,$

أي ثلاثة أعداد صحيحة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية -مثل (3، 4، 5)- تُكون ثلاثي فيثاغورسي.

إذا كانت أطوال أضلاع المثلث القائم فقط معروفة ولكن ليس الوتر، فيمكن حساب طول الوتر باستخدام المعادلة:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

إذا كان طول الوتر وضلع واحد معروفًا، فيمكن حساب طول الضلع الآخر على النحو التالي:

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$

أو

$b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.$

تعميم هذه النظرية هو قانون جيب التمام، والذي يسمح بحساب طول أي جانب من أي مثلث بالنظر إلى أطوال الضلعين الآخرين والزاوية بينهما. إذا كانت الزاوية بين الأطراف الأخرى هي الزاوية القائمة، فإن قانون جيب التمام يؤول إلى معادلة فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس العكسية

نص نظرية فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس):

« في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر. »

نظرية فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية. بتعبير آخر:

« في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في C.».

براهين

لهذه المبرهنة أكبر عدد معروف من الإثباتات (كما هو الحال بالنسبة لخاصية التقابل التربيعي). فيما يلي بعض منها:

برهان إقليدس

قبل البرهنة على خاصية فيثاغورس، يجب إثبات عبارتين. العبارة الأولى التي يجب إثباتها (العبارة 35 من الجزء الأول من كتاب العناصر) هي تساوي مساحتي متوازيي أضلاع لهما نفس القاعدة ونفس الارتفاع:

« متوازيات الأضلاع التي لها قاعدة مشتركة، ومحصورة بين نفس المستقيمين المتوازيين، لها نفس المساحة. »

لنعتبر متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE، لديهما قاعدة مشتركة [BC]، ومحصوران بين المتوازيين (BC) و(AF)، لاحظ أن AD=BC (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع ABCD)، و BC=EF (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع BCFE)، وبالتالي AD=EF.

توجد ثلاثة حالات فقط (مبينة في الشكل جانبه) لموضع النقطة E بالنسبة إلى D : يمكن أن توجد E على يسار D، منطبقة على D أو على يمين D. سندرس كل حالة:

1. إذا كانت E على يسار D فإن [ED] مشتركة بين كل من [AD] و[EF]، ومنه نستطيع التحقق من أن المسافتين AD و EF متساويتين. لاحظ أن الضلعين [AB] و[DC] متقايسان (لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD)، والنقط D، E، A و F مستقيمية، الزاويتان $[{\widehat {BAE}}]$ و$[{\widehat {CDF}}]$ متقايستان. كنتيجة لهذا فالمثلثان BAE و CDF متقايسان، لأن لهما ضلعان متقايسان والزاويتان المحصورتان متقايستان. إذن، متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف BEDC والمثلث BAE (أو CDF).

2. إذا كانت E منطبقة على D، سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين BAE و CDF متقايسان، وأنه من الممكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE بإضافة المثلث BAE (أو CDF) إلى المثلث المشترك BCD.

3. إذا كانت E على يمين D، لدينا AD=EF، وبإضافة DE لكل منهما نجد أن AE=DF. وبطريقة مشابهة لتلك التي استعملناها في 1 و 2، يمكن أن نبين أن المثلثين BAE و CDF، وأيضا شبهي المنحرف BADG و CGEF، متقايسان. إذن من الواضح أنه يمكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF عن طريق إضافة المثلث المشترك BCG إلى شبه المنحرف BADG (أو CGEF).

استبدال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة والارتفاع يعرف في الرياضيات باسم القص. هذا الأخير مهم جداً في إثبات العبارة التالية: « إذا كان لمتوازي أضلاع ولمثلث نفس القاعدة، ومحصورين بين مستقيمين متوازيين، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي ضعف مساحة المثلث. »

لنعتبر متوازي أضلاع ABCD، ولتكن E نقطة من نصف المستقيم (AD] ولا تنتمي إلى القطعة [AD]. نريد إثبات أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC. بعد رسم القطر [AC]، نلاحظ أن مساحة ABCD هي ضعف مساحة ABC. ولدينا مساحة ABC تساوي مساحة BEC (لأن لهم نفس القاعدة). إذن ضعف مساحة BEC هي ضعف مساحة ABC، أي ABCD. ومنه مساحة ABCD هي ضعف مساحة BEC المثلث. نستطيع الآن متابعة البرهان:

نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A. لتكن ABFG ،ACIH و BCED مربعات الأضلاع AB ،AC و BC على التوالي. لتكن J نقطة تقاطع (BC) و(AK). نريد إثبات أن مساحة BCED تساوي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. يمكننا هذا عن طريق إثبات أن مساحة المربع ABFG تساوي مساحة المستطيل BJKD، وأن مساحة المربع ACIH تساوي مساحة المستطيل CEKJ.

لإثبات المتساوية الأولى، يمكن أن نلاحظ أن المسافتين FB و BC تساويان AB و BD على التوالي. لأن الزاويتان $[{\widehat {ABF}}]$ و$[{\widehat {CBD}}]$ متقايستان، والزاويتان $[{\widehat {FBC}}]$ (لاحظ أن ${\widehat {FBC}}={\widehat {FBA}}+{\widehat {ABC}}$) و${\widehat {ABD}}$ (لاحظ أن ${\widehat {ABD}}={\widehat {ABC}}+{\widehat {CBD}}$) متقايستان. كنتيجة، لدينا المثلثان FBC و ABD متقايسان. لاحظ أيضاً أنه حسب العبارة XLI، مساحة المربع ABFG هي ضعف مساحة المثلث FBC وأن مساحة المستطيل BJKD هي ضعف مساحة المثلث ABD. بما أن المثلثين ABD و FBC متقايسان، فإن مساحة ABFG تساوي مساحة BJKD.

نحصل على المتساوية الثانية بطريقة مشابهة: بملاحظة أن IC و CB يساويان AC و CE على التوالي، وأن الزاوية $[{\widehat {ICB}}]$ تقايس الزاوية $[{\widehat {ACE}}]$، نحصل على أن المثلثين ICB و ACE متقايسان. وعلماً أن مساحة المربع ACIH هي ضعف مساحة المثلث ICB وأن مساحة المستطيل CEKJ هي ضعف مساحة ACE، وبما أن المثلثين ICB و ACE متقايسان، فإن مساحة ACIH تساوي مساحة CEKJ.

وبالتالي، مساحة BCED تساوي مساحة مجموع مساحتي BJKD و CEKJ، أي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. وتكون نظرية فيثاغورس حالة خاصة لمبرهنة كليرو.

برهان جوجو

لغز جوجو

تمت إعادة صياغة مبرهنة جوجو Gougu انطلاقاً من تعليقات وملاحظات الرياضي الصيني Liu Hui (القرن الثالث بعد الميلاد) على كتاب « الفصول التسعة في فن الرياضيات » (206 قبل الميلاد، 220 بعده) وعلى كتاب Zhoubi Suanjian « ظل الدوائر، كتاب في Calculus » (كتاب في علم الفلك).

هذا البرهان يعتمد على مبدأ لعبة اللغز Puzzle: مساحتان متساويتان بعد تقطيع وتركيب. يذكر أن إقليدس استعمل نفس المبدأ (القص) تقريباً. في الشكل جانبه، المثلث القائم الزاوية مرسوم بلون غامق، مربع أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة رسم خارج المثلث، بينما نقوم بالعكس بالنسبة للضلعين الآخرين.

المثلث الأحمر يقايس المثلث البدئي. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأصفر يساوي طول أصغر ضلع في المثلث البدئي، وزوايا هذين المثلثين متقايسة. طول أطول ضلع من ضلعي الزاوية القائمة في المثلث الأزرق يساوي فرق طولي ضلعي الزاوية القائمة للمثلث البدئي وزواياهما متقايسة أيضاً.

البرهنة باستعمال الجداء السلمي (المتجهات)

ليكن ABC مثلثاً قائم الزاوية في A

${\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}}$

${\overrightarrow {CB}}^{2}=({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})^{2}$

$CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2.{\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}$

بما أن ABC قائم الزاوية في A فإن ${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=0$

ومنه $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

برهان حديث

لنعتبر مثلثاً قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي b ،a و c. نقوم بنسخ المثلث ثلاث مرات بحيث يشكل كل ضلع طوله a مستقيماً مع ضلع طوله b لمثلث آخر. نحصل في الأخير على مربع طول ضلعه a+b، كما في الصورة.

لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول c. بالطبع المساحة هي c²، وتساوي أيضاً فرق مساحة المربع الكبير ذو الضلع a+b ومجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ²(a+b) لأن طول ضلعه هو a+b. ومجموع مساحات المثلثات هي أربع مرات مساحة مثلث واحد، أي 4(ab/2)، إذن الفرق هو (a+b)²-4(ab/2) بالتبسيط a²+b²+2ab-2ab أي a²+b². بهذا نكون قد برهنا على أن مساحة المربع ذو الضلع c تساوي a²+b²، أي a²+b²=c².

توجد طرق عديدة أخرى لإثبات مبرهنة فيثاغورس، حتى الرئيس الأمريكي الواحد والعشرون جيمس جارفيلد، برهن بطريقة قريبة من الطريقة السابقة، على مبرهنة فيثاغورس.

برهان باستعمال خاصيات الحساب المثلثي في مثلث قائم الزاوية

مثلث قائم الزاوية

لنعتبر المثلث $ABC$ القائم الزاوية في $A$ (الشكل المماثل اجنبه):

لدينا $\cos ^{2}\alpha ={\dfrac {AB^{2}}{BC^{2}}}\Leftrightarrow \cos \alpha ={\dfrac {AB}{BC}}$

و $\sin ^{2}\alpha ={\dfrac {AC^{2}}{BC^{2}}}\Leftrightarrow \sin \alpha ={\dfrac {AC}{BC}}$

وكما نعلم $\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1$

وبالتالي $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow {\dfrac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1\Leftrightarrow {\dfrac {AB^{2}}{BC^{2}}}+{\dfrac {AC^{2}}{BC^{2}}}=1$

أشكال أخرى للمبرهنة

استلزامها المضاد للعكس

نص الاستلزام المضاد للعكس:

« إذا كانت أطوال أضلاع مثلث ABC تحقق $BC^{2}\neq AB^{2}+AC^{2}\,\!$ فإن المثلث ABC ليس قائماً في النقطة A. »

رغم أن الاستلزام المضاد للعكس يكافئ منطقياً المبرهنة المباشرة، إلا أن استعماليهما مختلفان: فنظرية فيثاغورس المباشرة تستعمل لحساب طول ضلع مثلث قائم الزاوية بدلالة طولي الضلعين الآخرين، في حين أن استلزامها المضاد للعكس يستعمل لإثبات كون مثلث (قياسات أضلاعه معلومة) ليس قائم الزاوية.

الاستلزام المضاد للعكس للخاصية العكسية

يقول ما يلي: « إذا كان المثلث ABC ليس قائم الزاوية في A فإن $BC^{2}\neq AB^{2}+AC^{2}\,\!$ »

تعميمات

مبرهنة الهلالين

تعميم على أشكال هندسية أخرى غير المربعات

عمم إقليدس مبرهنة فيثاغورس في كتابه العناصر (العبارة 31، الجزء VI من كتاب العناصر):

« في المثلثات القائمة الزاوية، مساحة شكل مرسوم على الوتر، يساوي مجموع مساحتي الشكلين المشابهين له المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة. »

بتعبير آخر: « إذا أنشأنا أشكالاً متشابهة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مساحتي الشكلين الصغيرين تساوي مساحة الشكل الكبير. »

هذه الخاصية تسمح لنا بالبرهنة على أن مساحة مثلث تساوي مجموع مساحتي الهلالين المرسومين على ضلعي الزاوية القائمة: مبرهنة الهلالين.

قانون جيب التمام

المقالة الرئيسة: قانون جيب التمام

يعتبر قانون جيب التمام امتداداً لنظرية فيثاغورس، ينص على ما يلي:

$a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}\,$

حيث تمثل θ الزاوية المحصورة بين الضلعين a و b.

استعمالاتها

• تسمح نظرية فيثاغورس بحساب المسافة بين نقطتين في معلم متعامد بدلالة إحداثياتهما الديكارتية، إذا كانت $A(x_{a},y_{a})$ و$B(x_{b},y_{b})$ نقطتان من المستوي الإقليدي، فإن المسافة بينهما هي:

${\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}$

إذا كانت $(x_{b},y_{a})$ إحداثيتا نقطة C في نفس المعلم، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C. المسافتان CA و CB معلومتان:

$CA=|x_{b}-x_{a}|$

$CB=|y_{b}-y_{a}|$

بينما تمثل المسافة AB طول وتر المثلث ACB.

• بشكل عام، في فضاء إقليدي (أو فضاء تآلفي إقليدي)، المسافة من $(x_{1},\dots ,x_{k})$ إلى $(y_{1},\dots ,y_{n})$ تساوي:

${\sqrt {\sum _{k=1}^{k=n}{(x_{k}-y_{k})^{2}}}}$

• يمكن أن نعتبر مبرهنة Parseval تعميماً لنظرية فيثاغورس في فضاء الجداء الداخلي.
• تعمم نظرية فيثاغورس على التبسيطات ذات الأبعاد الكبيرة. إذا كان لرباعي أوجه ركن قائم (ركن من مكعب)، فإن مربع مساحة الوجه المقابل للركن، يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. تعرف هذه المبرهنة أيضاً باسم مبرهنة Gua.

تاريخ

عرفت خاصية فيثاغورس في العصور القديمة، والدلائل على ذلك ما زالت موجودة حتى الآن. يكفي مثلاً أن نلاحظ الحبل ذا ثلاث عشرة عقدة الذي كان المسّاحون المصريون يستعملونه والذي نجد له صوراً في عدة تصاوير للأعمال الزراعية. يسمح هذا الحبل، علاوة على قياس المسافات، بإنشاء زوايا قائمة دون الحاجة إلى جيب التمام، إذ تسمح العقد الثلاث عشرة (والمسافات الاثنتي عشر الفاصلة بين العقد) من إنشاء مثلث أبعاده (5 ،4 ،3)، مثلث يتضح أنه قائم الزاوية. ظل هذا الحبل أداة هندسية طيلة العصور الوسطى.

أقدم تمثيل لمثلوثات فيثاغورس (مثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه أعداد صحيحة طبيعية) نجده في الميغاليثات (2500 سنة قبل الميلاد). كما أظهرت آثار البابليين (لوحة Plimpton، حوالي سنة 1800 قبل الميلاد) أنه قبل ظهور فيثاغورس بأكثر من 1000 سنة، عرف المهندسون وجود مثلوثات فيثاغورس.

لكن بين اكتشاف الخاصية «نلاحظ أن بعض المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية»، تعميمها «يبدو أن كل المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية» وإثباتها «كل المثلثات القائمة الزاوية (فقط) في المستوى الإقليدي تحقق هذه الخاصية» عدة أجيال.

برهان بصري لمثلث أطوال أضلاعه (3، 4، 5) في كتاب Chou Pei Suan Ching (القرن الثاني-القرن الخامس قبل الميلاد)

ندرة الدلائل التاريخية تجعل من غير الممكن نسب المبرهنة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، مع أننا على يقين بأنه صاحبها. أول برهان مكتوب نجده في كتاب العناصر لإقليدس بالصيغة التالية:

« في المثلثات القائمة الزاوية، مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. »

مع صيغتها العكسية: « إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين قائمة. »

ومع ذلك، فتعليقات برقلس على كتاب العناصر لإقليدس (حوالي 400 سنة بعد الميلاد) تشير إلى أن إقليدس لم يقم سوى بإعادة تدوين برهان قديم نسبهُ برقلس إلى فيثاغورس.

إذن، يمكن أن نؤرخ البرهان على هذه الخاصية ما بين القرن الثالث والقرن السادس قبل الميلاد. يحكى أنه في تلك الفترة اكتشفت الأعداد اللاجذرية. بالفعل، يمكن بسهولة إنشاء مثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين طول أحدهما 1، فيكون مربع طول الوتر هو 2. برهان بسيط أيام فيثاغورس يثبت أن العدد 2 ليس مربعاً لعدد جذري. يقال أن هذا الاكتشاف تم إبقاؤه سراً من طرف المدرسة الفيثاغورسية تحت تهديد بالقتل.

إلى جانب هذه الاكتشافات، يبدو أن هذه المبرهنة عرفت في الصين أيضاً. نجد إشارة إلى وجود هذه المبرهنة في واحد من أقدم المؤلفات الصينية في الرياضيات، كتاب Zhoubi suanjing. هذا المؤلف، كتب على الأغلب في مملكة هان (أعظم الفترات في تاريخ الصين)، (206 قبل الميلاد، 220 سنة بعد الميلاد) يضم التقنيات المستعملة في فترة Zhou Dynasty. (القرن العاشر قبل الميلاد، 256 قبل الميلاد). نجد برهان هذه الخاصية، التي تحمل في الصين اسم مبرهنة جوجو Gougu (القاعدة والارتفاع)، في كتاب Jiuzhang suanshu (الفصول التسعة في فن الرياضيات، 100 سنة قبل الميلاد، 50 سنة بعده)، برهان مختلف كلياً عن برهان إقليدس.

كما نجد في الهند برهانا عددياً للخاصية يعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد (برهان باستعمال أعداد خاصة، لكن يمكن تعميمه بسهولة).

رغم أنها خاصية هندسية، إلا أنها أخذت منحى حسابياً عند البحث عن جميع مثلوثات أعداد صحيحة طبيعية تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية: أي مثلوثات فيثاغورس. هذا البحث فتح الباب لبحث آخر: البحث عن المثلوثات التي تحقق $a^{n}+b^{n}=c^{n}$، بحث قاد إلى حدسية فيرما التي تم حلها سنة 1994 على يد الرياضي أندرو وايلز.

توجد في الحقيقة العديد من البراهين على هذه الخاصية، مثل برهان إقليدس، وبرهان الصينيين، مروراً ببرهان الهنود، وبرهان دا فينشي وحتى برهان الرئيس الأمريكي جيمس جارفيلد. كما لا يفوت ذكر الكاشي الذي عمم هذه المبرهنة على كل المثلثات في مبرهنته المعروفة باسم مبرهنة الكاشي.

انظر أيضاً

• البرهان السلمي

متوازيات أضلاع محيطة بمثلث عادي.

• مبرهنة الكاشي، تعميم لنظرية فيثاغورس على كل المثلثات.
• الجبر الخطي
• مثلوث فيثاغورس
• مبرهنة فيرما الأخيرة
• مبرهنة العلم البريطاني
• لائحة المواضيع المتعلقة بالمثلث
• قانون متوازي الأضلاع
• مبرهنة بطليموس