نهاية دالة: الفرق بين النسختين
[مراجعة غير مفحوصة] | [نسخة منشورة] |
وسوم: تحرير من المحمول تعديل في تطبيق الأجهزة المحمولة تعديل بتطبيق أندرويد |
Elsayed Taha (نقاش | مساهمات) ط استرجاع تعديلات 82.199.209.101 (نقاش) حتى آخر نسخة بواسطة Meno25 وسم: استرجاع |
||
سطر 36: | سطر 36: | ||
لتكن <math>A\sub\mathbb{R}</math>, و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد <math>\delta>0</math> بحيث إذا كانت <math>x\in\mathbb{A}</math> و <math>0<|x-c|<\delta</math> إذاً <math>|f(z)-L|<\epsilon</math>. |
لتكن <math>A\sub\mathbb{R}</math>, و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد <math>\delta>0</math> بحيث إذا كانت <math>x\in\mathbb{A}</math> و <math>0<|x-c|<\delta</math> إذاً <math>|f(z)-L|<\epsilon</math>. |
||
⚫ | |||
هلو |
|||
# ]]هلو''''' |
|||
⚫ | |||
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة ،ولكن ليست كل دالة متصلة هي دالة قابلة للاشتقاق ، و هذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة ويرستراس |
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة ،ولكن ليست كل دالة متصلة هي دالة قابلة للاشتقاق ، و هذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة ويرستراس |
||
سطر 128: | سطر 126: | ||
<math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> ليست تقاربية في R |
<math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> ليست تقاربية في R |
||
=== أمثلة === |
=== أمثلة === |
||
1/ <font color="red"><math>\lim_{x\rightarrow 0 }\left(\frac{1}{x}\right)</math> غير موجودة</font> |
1/ <font color="red"><math>\lim_{x\rightarrow 0 }\left(\frac{1}{x}\right)</math> غير موجودة</font> |
نسخة 23:12، 11 يناير 2020
جزء من سلسلة مقالات حول |
التفاضل والتكامل |
---|
بوابة رياضيات |
x | |
---|---|
1 | 0.841471 |
0.1 | 0.998334 |
0.01 | 0.999983 |
تعتبر نهاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن :
- للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.
التاريخ
انظر إلى برنارد بولزانو.
تعريفات
يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة |ε> |f(x) - b تكون متحققة.
وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.
لتكن , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل يوجد على الأقل نقطة واحدة حيث.
.
لتكن , و c نقطة تراكم لـ A ,للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد بحيث إذا كانت و إذاً .
العلاقة بالاتصال
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة متصلة ،ولكن ليست كل دالة متصلة هي دالة قابلة للاشتقاق ، و هذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة ويرستراس
خصائص
قاعدة التسلسل
- , و
غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين : أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد حيث إذا توفر فإن ).
قاعدة لوبيتال
الجمع والتكامل
نظرية
العدد هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A بحيث و ,∀n∈N .
مثال:
الفترة المفتوحة كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ. النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ لكنها لا تنتمي إلى
. كل النقاط في هي نقاط تراكم ل
- المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
- المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم
نظرية
إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c
نظرية
لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة :
إذا أعطي جوار لـL
يوجد جوار لـ c بحيث x≠c هي أي نقطة في إذاً
أمثلة
1)
الحل
أفترض f(x)=b,, لكل, نريد إثبات أن ،وإذا كان ,, نفترض .
(في الحقيقة في أي موجبة ستكون كافية للغرض" أي اي عدد موجب سيكون مقبول"),,
إذا , ((الواحد تعويض عن )) لدينا وبما أن أجراء تعسفي (إجباري) , نستنتج من تعريف النهاية أن
2)
الحل :
لتكن g(x)=x ,لكل , إذا كان نختار إذاًو إذا كانت
, يكون لدينا , بما أن , نستنتج أن
مما يعني أن
معيار المتتابعات للنهايات
نظرية [معيار المتتابعة
إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:
1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
2/ لكل متتابعة في A تتقارب إلى c بحيث لكل , المتتابعه
تتقارب إلى L
معيار التباعد
لنفرض أن ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم
1/ إذا كانت ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة
لا تتقارب إلى L
2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و
لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
ليست تقاربية في R
أمثلة
1/ غير موجودة
الحل
نفرض أن إذا كانت x>0 سنعتبر c=0 إذا أخذنا المتتابعة لـ حيث , هذا سيؤدي إلى أن لكن وكما نعلم أن المتتابعة ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن غير موجودة.
انظر أيضا
مراجع
- ^ "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
- ^ نهايات الدوال
في كومنز صور وملفات عن: نهاية دالة |