ثنائي حد الكرخي-نيوتن

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .

الصيغة[عدل]

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

حيث الأعداد {n \choose k} (و التي تكتب أحيانا ^{n}C_{k}) هي المعاملات الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} x^{n-k} y^k

مثال :

n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
n=3~,\qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,
n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

البرهان[عدل]

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx وn عددا طبيعيا صحيحا.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية[عدل]

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0
n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

صحة العنصر التالي[عدل]

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الأول :

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,

بتوزيعية \cdot على + :

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k 
+y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k
+ y^{n+1}

بالتفكيك إلى جذاء :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}

و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.

   Factorial and binomial topics