ثنائي حد الكرخي-نيوتن

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Mergefrom.svg
من المقترح أن تدمج صيغة الثنائي المعممة إلى هذه المقالة أو إلى هذا القسم. (ناقش)

ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .

الصيغة[عدل]

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

حيث الأعداد {n \choose k} (و التي تكتب أحيانا ^{n}C_{k}) هي المعاملات الثنائية.

هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.

تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :

(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} x^{n-k} y^k

مثال :

n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
n=3~,\qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,
n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

البرهان[عدل]

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx وn عددا طبيعيا صحيحا.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية[عدل]

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0
n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

صحة العنصر التالي[عدل]

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:

حسب الافتراض الأول :

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,

بتوزيعية \cdot على + :

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k 
+y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k
+ y^{n+1}

بالتفكيك إلى جذاء :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}

باستعمال صيغة مثلث باسكال :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}

و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.

   Factorial and binomial topics