لوغارتم طبيعي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
منحنى دالة اللوغارتم الطبيعي. تصعد الدالة بشكل بطئ إلى زائد ما لا نهاية له عندما يصير x كبيرا، بينما تذهب إلى ناقص ما لا نهاية له بسرعة كبيرة عندما يقترب x من الصفر. محور الأراتيب هو خط مقارب للدالة.
Logarithme népérien.png

اللوغاريتم الطبيعي (بالإنجليزية: Natural logarithm) أو اللوغاريتم النبيري هي دالة لوغاريتمية للأساس e. وهي الدالة الاصلية للدالة على وتنعدم في 1. يُرمز لهذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln بصفة عامة.

التاريخ[عدل]

ويسمى هذا اللوغاريتم أيضا باللوغاريتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللوغاريتمية، والتي ليست في الواقع جداول لوغاريتمات طبيعية. يرجع أصل اللوغاريتمات الطبيعية في عام 1647، عندما كان غريغوار دو سان فنسان [الإنجليزية] يعمل على التربيع للقطع الزائد ويوضح أن الدالة التي تم الحصول عليها تلبي خاصية الإضافة للدوال اللوغاريتمية. ومع ذلك، لا يرى سانت فنسان أي صلة مع لوغاريتمات نابيير، وهو تلميذه ألفونس أنطوان دي ساراسا [الإنجليزية] الذي سيشرح ذلك في عام 1649. كان يُطلق على اللوغاريتم الطبيعي أولاً اللوغاريتم الزائدي ، مع الإشارة إلى المنطقة الموجودة أسفل القطع الزائد الذي يمثله. ظهر مصطلح اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة في عام 1668 ، في مذكرة "Logarithmotechnia" التي كتبها نيكولاس مركاتور حول السلسلة التي تحمل اسمه. [1] هذه السلسلة ، التي استغلها نيوتن عام 1671، تجعل من الممكن حساب القيم اللوغاريتمية لغريغوار دو سان فنسان. بعد ذلك ، يبدو حساب اللوغاريتمات الأخرى معقدًا للغاية ، وبطبيعة الحال، يصبح لوغاريتم غريغوار دو سان فنسان هو الأكثر طبيعية.

اتفاق حول الرموز[عدل]

يشير الرمزان "ln x" و "loge x" بشكل لا لبس فيه إلى اللوغارتم الطبيعيّ لِـx. و قد يُفهم من الرمز "log x" دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لوغارتم طبيعيّ لِـx. يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة و في الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة.(ملاحظة 1) يُمكن استخدم الرمز "log x" في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللوغارتم ذو الأساس 10.

تاريخياً، أُدخلت الرموز "l." و "l" إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل،[2][3] و بقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل،[4] أما الرمز "log."[5] أو "log"،[6] فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log"[7] و "logh"[8].

أصل مصطلح اللوغارتم الطبيعي[عدل]

وحدة من منطقة تصف عدد يولر.

تنتج الدالة و ذلك من أجل n ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". و بالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد و خطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة و القطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. و بالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة xy = 1.
يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة و اللوغارتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة و الأسيّة في كتاب مقدمة في تحليل اللانهاية (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللوغارتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لوغارتميّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور و كريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.
إن صلة الوصل بين المنطقة و أقواس الدائرة و دوال القطع الزائد تُظهر "طبيعيّة" اللوغارتم.[9]

التعريفات[عدل]

يعرف (ln(a بالمساحة الملونة الموجودة تحت منحنى الدالة f(x) = 1/x ابتداء من 1 حتى a.

رسمياً، في حالة a يُمكن تعريف اللوغارتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/x. هذا هو التكامل

هذه الدالة لوغارتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للوغارتم:

يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln(ab) إلى جزأين و من ثُمّ المكاملة بالتعويض x = ta في الجزء الثاني، وفق الآتي:

في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/a في الاتجاه الأفقيّ و بواسطة a في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، و لكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين a و ab. لأن الدالة a/(ax) تُساوي الدالة 1/x، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln(b).
يُعرَّف العدد e بأنه عدد حقيقيّ فريد a حيث ln(a) = 1.
بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللوغارتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln(x)) = x. و بما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم x الإيجابيّة.

خاصيات[عدل]

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي[عدل]

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

و منه الدالة ln متصلة على و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي[عدل]

لتكن f دالة معرفة ب حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :

و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :

من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :

  • *

الاشتقاق ومتسلسلات تايلور[عدل]

دالة اللوغارتم الطبيعي في التكامل[عدل]

الكسور المستمرة[عدل]

في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن العديد من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:

فهذه الكسور المستمرة، و بشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللوغارتمات الطبيعيّة لمعظم الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل. على سبيل المثال بما أن 2 = 1.253 × 1.024 يمكن حساب اللوغارتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:

علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.2510 × 1.0243 فإن اللوغارتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه و بطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:

اللوغارتم العقدي[عدل]

يعرف كالآتي:

انظر أيضا[عدل]

هوامش[عدل]

ملاحظة 1: تتضمن هذه اللغات سي، و سي ++ و ساس [الإنجليزية] و ماتلاب و ماثماتيكا و فورتران و بايزيك.

مراجع[عدل]

  1. ^ O'Connor، J. J.؛ Robertson، E. F. (September 2001). "The number e". The MacTutor History of Mathematics archive. مؤرشف من الأصل في 14 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 02 فبراير 2009. 
  2. ^ Euler، Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas". Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae (CASP) (نشر 1744). 9: 160–188. E72. 
  3. ^ Euler، Leonhard (1925). Opera Omnia, Series Prima: Opera Mathematica. Quartum Decimum. Teubner. 
  4. ^ Cauchy، Augustin. Exercices d'analyse et de physique mathématique. 3. صفحة 380. اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015. 
  5. ^ Legendre، Adrien-Marie (1798). Essai sur la théorie des nombres. VI. Paris, France: Duprat, libraire pour les mathématiques, quai des Augustins. 
  6. ^ Landau، Edmund (1953) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (الطبعة 2). Berlin: Chelsea, New York. 
  7. ^ Piskounov، Nikolaï (1972). Calcul différentiel et intégral (الطبعة 5). Moskow: Editions Mir. صفحة 91. 
  8. ^ Jolley، L. B. W. (1961). Summation of Series (PDF) (الطبعة 2 (revised)). New York, USA: Dover Publications, Inc. LCCN 61-65274. اطلع عليه بتاريخ 31 أكتوبر 2015. 
  9. ^ Ballew، Pat. "Math Words, and Some Other Words, of Interest". مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 18 يناير 2018. 

وصلات خارجية[عدل]