قائمة مساقط الخرائط

التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

طالع أيضًا: مثلث قائم

المثلث القائم أو المثلث قائم الزاوية هو مثلثٌ إحدى زواياه قائمة، أي أن ضلعيه يشكلان زاوية قياسها $90^{\circ }$.

بالنظر إلى الزاوية الحادة A = θ للمثلث قائم الزاوية، فإن الوتر c هو الضلع الذي يربط الزاويتين الحادتين. الضلع b المجاور لـ θ هو ضلع المثلث الذي يربط بين الزاوية θ والزاوية القائمة. يدعى الضلع الثالث b بالضلع المقابل لـ θ. إذا أعطيت الزاوية θ، فإن جميع الأضلاع المثلث قائم الزاوية معرفة جيدا إلى غاية عامل التدريج. هذا يعني أن نسبة أي طول الأضلاع تعتمد فقط على θ. تحدِّد هذه النسب الست أيضا دوال الست لـ θ، وهي الدوال المثلثية. بتعبير أدق، الدوال المثلثية الست هي:

• جيب الزاوية (Sine/Sinus): هو النسبة بين الضلع المقابل والوتر. أي حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية على وتر المثلث القائم الزاوية، بمعنى آخر: المقابل/الوتر = a/c
• جيب تمام الزاوية (Cosine/Cosinus): هو النسبة بين الضلع المحادي للزاوية ووتر المثلث، بتعبير آخر: المجاور/الوتر = b/c
• ظل زاوية (Tangent): يساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها، أي: المقابل/المجاور = b/a
• ظل تمام الزاوية (Cotangent): المجاور/المقابل = a/b
• قاطع زاوية (Secant) :الوتر/المجاور = c/a
• قاطع تمام الزاوية (Cosecant): الوتر/المقابل = c/b

في مثلث قائم الزاوية، مجموع الزاويتين الحادتين يساوي زاوية قائمة، التي تقدر بـ 90° أو π/2 راديان.

ملخص العلاقات بين الدوال المثلثية

يلخص الجدول التالي علاقة الدوال المثلثية بالزوايا المتتامة ومقاليبها:

الاسم	الترميز بالمحارف العربية	الترميز بالمحارف اللاتينية	تعريف	العلاقة الرياضية
				بالراديان	بالدرجات
الجيب	جا	sin	المقابل/الوتر	$\sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}$	$\sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}$
جيب التمام	جتا	cos	المجاور/الوتر	$\cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,$	$\cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,$
الظل	ظا	tan (أو tg)	المقابل/المجاور	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}$	$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}$
ظل التمام	ظتا	cot (أو cotan أو cotg أو ctg أو ctn)	المجاور/المقابل	$\cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$	$\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}$
القاطع	قا	sec	الوتر/المجاور	$\sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}$	$\sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}$
قاطع التمام	قتا	csc (أو cosec)	الوتر/المقابل	$\csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}$	$\csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}$

وحدات قياس الزوايا

الدرجة: يعود استخدامه إلى عصور قديمة. يتم الحصول على هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزء متساوي.

الراديان أو التقدير الدائري: يساوي الزاوية المقابلة للقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان.

الغراد: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة.

الدورة: تعادل 360° أو 2π راديان.

وحدة	مقدار
درجة	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
راديان	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
غراد	0g	100/3g	50g	200/3g	100g	200g	300g	400g
دورة	0	1/12	1/8	1/6	1/4	1/2	3/4	1

راديان مقابل درجات

في التطبيقات الهندسية، يكون متغير دالة مثلثية عمومًا هو مقياس الزاوية. لهذا الغرض، كل الوحدات الزاوية مناسبة، ويتم قياس الزوايا في أغلب الحالات بالدرجات.

عند استخدام دالة مثلثية في حساب التفاضل والتكامل، فإن متغيرهم ليست عمومًا زاوية، لكنه بالأحرى عدد حقيقي. في هذه الحالة، من الملائم أكثر التعبير عن المتغير المثلثي كطول قوس دائرة الوحدة المحددة بزاوية مع مركز الدائرة كرأس. لذلك، نستخدم الراديان كوحدة للزاوية.

ميزة كبيرة للراديان هي أن العديد من الصيغ تكون أبسط بكثير عند استخدامها، عادة كل الصيغ المتعلقة بالمشتقات والتكاملات.

هذا هو بالتالي اصطلاح عام، عندما تكون وحدة الزاوية غير محددة بوضوح، يتم التعبير دائمًا عن متغيرات الدوال المثلثية بالراديان.

التعريف باستعمال دائرة الوحدة

طالع أيضًا: دائرة وحدة

في هذا الرسم التوضيحي، الدوال المثلثية الستة لزاوية اختيارية θ ممثلة كإحداثيات ديكارتية للنقاط المتعلقة بدائرة الوحدة. تراتيب (Ordinates) A، وB، وD هي sin θ، وtan θ وcsc θ على التوالي، في حين أن فواصل (Abscissas) A، وC وE هي cos θ، وcot θ وsec θ على التوالي.

إشارات الدوال المثلثية في كل ربع. يسرد مساعد الذاكرة "All science teachers (are) crazy" الدوال التي هي موجبة من الربع الأول إلى الربع الرابع.

يمكن تعريف الدوال المثلثية الستة بقيم إحداثي للنقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة (يطلق عليها أيضا اسم الدائرة المثلثية)، وهي دائرة نصف قطرها يساوي الواحد ومركزها أصل المَعلم O لهذا النظام الاحداثي. بينما تسمح تعريفات مثلث قائم الزاوية بتعريف الدوال المثلثية للزوايا بين 0 و${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ راديان (90°)، تسمح تعريفات دائرة الوحدة بتمديد مجال الدوال المثلثية لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة.

تدوير نصف مستقيم انطلاقا من انحدار الجزء الموجب لمحور السينات بزاوية θ (عكس اتجاه عقارب الساعة من أجل $\theta >0$، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل $\theta <0$) تعطي نقاط تقاطع لهذا نصف المستقيم (انظر الشكل) مع دائرة الوحدة: $\mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })$، وبتمديد نصف المستقيم الى مستقيم، مع المستقيم ${\text{“}}x=1{\text{”}}:\;\mathrm {B} =(x_{\mathrm {B} },y_{\mathrm {B} })$ ،ومع المستقيم ${\text{“}}y=1{\text{”}}:\;\mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },y_{\mathrm {C} })$. يقطع خط المماس (الذي هو مماسي على دائرة الوحدة في النقطة A وعمودي على هذا الشعاع (نصف المستقيم)) محور السينات x ومحور الصادات y في النقاط $\mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })$ و$\mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)$. تعطي قيم الإحداثي لهذه النقاط جميع القيم الموجودة للدوال المثلثية للقيم الحقيقية الإختيارية θ.

يتم تعريف الدوال المثلثية cos وsin على التوالي، على أنها قيم الإحداثي x وy للنقطة A، أي:

$\cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad$ و$\quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }$.

في المدى $0\leq \theta \leq \pi /2$ يتطابق هذا التعريف مع تعريف المثلث قائم الزاوية من خلال أخذ مثلث قائم الزاوية لجعل نصف قطر الوحدة OA وترا للمثلث، وبما أن من أجل كل نقاط $\mathrm {P} =(x,y)$ على دائرة الوحدة المعادلة $x^{2}+y^{2}=1$ صحيحة، هذا التعريف للجيب وجيب التمام يحقق أيضًا متطابقة فيثاغورس: $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

يمكن العثور على الدوال المثلثية الأخرى على طول دائرة الوحدة كـ:

$\tan \theta =y_{\mathrm {B} }$ و$\cot \theta =x_{\mathrm {C} }$،

$\csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }$ و$\sec \theta =x_{\mathrm {E} }$.

يمكننا أيضا اعتبار أطوال القطع المستقيمة AE، و AD هي: $\tan \theta$، و $\cot \theta$، على التوالي.

من خلال تطبيق متطابقة فيثاغورس وطرق البرهان الهندسي، يمكن توضيح هذه التعريفات بسهولة لتتطابق مع تعريفات ظل الزاوية، وظل التمام، وقاطع الزاوية، وقاطع التمام بدلالة الجيب وجيب التمام، أي:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.$

نظرًا لأن دوران بزاوية $\pm 2\pi$ لا يغير موضع الشكل أو حجمه، فإن النقاط A وB وC وD وE هي نفسها بالنسبة لزاويتين يكون فرقهما هو مضاعف صحيح لـ $2\pi$. وهكذا فإن الدوال المثلثية هي دالة دورية ذات دورة $2\pi$. بمعنى آخر، المساواة $\sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)$ و$\cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)$ صالحة لأي زاوية θ ولأي عدد صحيح k. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. تشير ملاحظة إشارة ورتابة دوال الجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام في الأرباع الأربعة إلى أن 2π هي أصغر قيمة تكون دورية لها، أي 2π هي الدورة الأساسية لتلك الدوال. ومع ذلك، بعد الدوران بزاوية π، تعود النقطتان B وC إلى موضعهما الأصلي، بحيث تكون دالتا الظل وظل التمام لها دورة أساسية π.

الدوران

رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة

يمكن الحصول على الدوال المثلثية للزوايا الأكبر من 90° باستخدام علاقات الدوران حول مركز الدائرة. أيضًا، يمكن حساب الزوايا الأصغر من الصفر بالانعكاس حول المحور الأفقي. يوضح الجدول التالي كل العلاقات المثلثية:

انعكاس حول المحور الأفقي	دوران بزاوية π/2	دوران بزاوية π	دوران بزاوية 2kπ (مع k عدد صحيح)	انعكاس حول المحور العمودي
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +2k\pi )=+\sin \theta$	$\sin(\pi -\theta )=\sin \theta$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +2k\pi )=+\cos \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +\pi )=+\tan \theta$	$\tan(\theta +2k\pi )=+\tan \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +\pi )=+\cot \theta$	$\cot(\theta +2k\pi )=+\cot \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +2k\pi )=+\sec \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=+\sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +2k\pi )=+\csc \theta$	$\csc(\pi -\theta )=\csc \theta$

حساب القيم

المقالة الرئيسة: جداول مثلثية

حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدويا أمر صعب ومعقد، لكن اليوم فقد تعقيداته بسبب توفر أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة المضبوطة لأي زاوية.

بالنسبة لبعض الزوايا، يمكن الحصول على مقدار الدوال المثلثية المضبوطة. على سبيل المثال، بالنسبة إلى جميع زوايا التي مقدارها من مضاعفات العدد 3، تكون قيم دوال الجيب وجيب التمام والظل دقيقة. يتم حساب النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). يتم الحصول على النسب المثلثية لـ 18° باستخدام خماسي منتظم.

تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعة متنوعة من التقنيات لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الكيفية. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في المعالِجات الراقية ذات وحدات الفاصلة العائمة، في الضم بين تقريب كثير حدود أو ناطق (Rational) (مثل تقريب تشيبيشيف، وتقريب Padé، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، متسلسلات تايلور ولورنت) مع تقليص المدى والبحث عن جدول (البحث أولاً عن أقرب زاوية في جدول صغير، ثم استخدام كثير الحدود لحساب التصحيح).

دائرة الوحدة

التعبيرات الجبرية لأهم الزوايا هي كما يلي:

$\sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$ (زاوية مستقيمة)

$\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$ (زاوية قائمة)

إن كتابة البسوط كجذور تربيعية للأعداد الصحيحة غير السالبة المتتالية، مع مقام يساوي 2، توفر طريقة سهلة لتذكر القيم.

مثل هذه التعبيرات البسيطة غير موجودة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعتبر مضاعفات ناطقة (Rational) لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات، تكون مضاعفة للثلاثة، قد يتم التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية، طالع ثوابت مثلثية. وبالتالي قد يتم انشاء هذه القيم للجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والفرجار.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام بدلالة الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية غالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية مضاعف 3°، فإن الجذور التكعيبية غير الحقيقية لا يمكن تجنبها.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد كسري، الجيب وجيب التمام هما عددان جبريان، يمكن التعبير عنهما بدلالة الجذور النونية. هذا ينتج عن حقيقة أن زمر غالوا لكثير حدود السيكلوتومي هي زمرة دائرية.

بالنسبة للزاوية التي تقاس بالدرجات وهي عدد غير كسري، إما أن تكون الزاوية أو الجيب وجيب التمام عددين متساميين. إنها لازمة مبرهنة باكر، ثُبتت في عام 1966.

القيم الجبرية البسيطة

المقالة الرئيسة: ثوابت مثلثية

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. يمثل الرمز ∞ النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي؛ إنه غير مؤشر، لأنه عندما يظهر في الجدول، تؤول الدالة المثلثية المقابلة إلى +∞ في جهة، وإلى -∞ في جهة أخرى، عندما يؤول المتغير إلى القيمة في الجدول.

راديان	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {5\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{2}}$
درجة	$0^{\circ }$	$15^{\circ }$	$22.5^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$67.5^{\circ }$	$75^{\circ }$	$90^{\circ }$
$\sin$	$0$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$1$
$\cos$	$1$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$0$
$\tan$	$0$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}+1$	$2+{\sqrt {3}}$	$\infty$
$\cot$	$\infty$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\sqrt {2}}-1$	$2-{\sqrt {3}}$	$0$
$\sec$	$1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$\infty$
$\csc$	$\infty$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	$1$

حساب التفاضل والتكامل

الدوال المثلثية هي دوال قابلة للتفاضل. هذا ليس واضحا على الفور من التعاريف الهندسية المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، فإن الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء هندسة رياضية من حساب التفاضل والتكامل بدلاً من العكس. لذلك، باستثناء في المستوى الأساسي، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

لتحديد الدوال المثلثية داخل حساب التفاضل والتكامل، هناك ثلاث امكانيات متساوية، إما باستخدام متسلسلة القوى أو المعادلات التفاضلية أو التكامل. هذه التعريفات متكافئة لأن انطلاقا من واحد منهم، من السهل البدء في استرداد التعريفات الأخرى كخاصية. ومع ذلك، يعتبر التعريف من خلال المعادلات التفاضلية أكثر طبيعية إلى حد ما، لأنه على سبيل المثال، قد يبدو اختيار معاملات متسلسلة القوى كله اختياري، ومتطابقة فيثاغورس هي أسهل بكثير لاستنتاج من المعادلات التفاضلية.

الاشتقاق والمكاملة

المشتقات الأولى والثانية للدوال المثلثية مع مشتقاتها العكسية هي كما يلي:

دالة	مشتقها الأول	مشتقها الثاني	مشتقها من الرتبة n	تكامل
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\sin(x+{\frac {n\pi }{2}})$	$-\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\cos(x+{\frac {n\pi }{2}})$	$\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$	$2\sec ^{2}(x).\tan(x)$	معقد	$-\ln |\cos(x)|$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$	$2\csc ^{2}(x).\cot(x)$	معقد	$\ln |\sin(x)|$
$\sec(x)$	$\sec(x).\tan(x)$	$\sec(x)(\sec ^{2}(x)+\tan ^{2}(x))$	معقد	$\ln |\sec(x)+\tan(x)|$
$\csc(x)$	$-\csc(x).\cot(x)$	$\csc(x)(\csc ^{2}(x)+\cot ^{2}(x))$	معقد	$-\ln |\csc(x)+\cot(x)|$

تعريف بواسطة التكامل

تعريف دالة الجيب بواسطة مثلث قائم الزاوية ليس دقيقًا من الناحية الرياضية لأن مفهوم الزاوية (أو طول القوس في دائرة الوحدة) غير مذكور بدقة. يمكن الحصول على تعريف آخر استنادا إلى الطول الدقيق لقوس الدائرة. بالنظر إلى معادلة الدائرة $y={\sqrt {1-x^{2}}}$ والبحث عن طول القوس، يمكننا إيجاد العلاقة بين الزاوية $\theta$ و$\sin \theta$ وفقًا للمعادلة التالية: $\int _{0}^{\sin \theta }{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\theta$

حيث تنتمي الزاوية θ إلى المدى $0\leq \theta \leq \pi /2$.

التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: $ay''+by'+cy=0$

إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل $y=A_{1}e^{m_{1}x}+A_{2}e^{m_{2}x}$ حيث $m_{1}$ و $m_{2}$ هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة ($am^{2}+bm+c=0$). أيضا CC و AC هي ثوابت التكامل بناءً على الشروط الأولية.

إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور عقدية، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية العقدية:

$y=A_{1}.e^{(\alpha +i\beta )x}+A_{2}.e^{(\alpha -i\beta )x}$

حيث A هو الجزء الحقيقي و B هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية المعقدة إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور العقدية، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية الدوال المثلثية:

$y=A_{1}.e^{\alpha x}\cos \beta x+A_{2}.e^{\alpha x}\sin \beta x$

الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,\\\sin 0&=0,\\\cos 0&=1.\end{aligned}}$

كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية:

$y''=-y.\,$ بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

بتطبيق قاعدة ناتج القسمة على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:

${\frac {d}{dx}}\tan x=1+\tan ^{2}x.$

باستعمال المتسلسلات

دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.

الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة متعددة الحدود لتايلور.

$\cos(x)$ إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة على النحو التالي:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

حيث يرمز n! إلى عاملي عدد، ويرمز f'(a) إلى المشتقة الاولى للدالة عند النقطة a.

عندما يكون a=0، نسمي المتسلسلة بمتسلسلة ماكلورين، رياضيا: $f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots$

ملاحظة: الزاوية x مقاسة بالتقدير الدائري في جميع السلاسل التالية.

متسلسلات تايلور لكل من الجيب وجيب التمام

• جيب الزاوية:

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود قوة الفردية.

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\[8pt]\end{aligned}}$

• جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

${\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

نصف قطر التقارب لتلك السلسلة غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى دوال كاملة، والتي هي (بالتعريف) دوال ذات قيم عقدية (مركبة) التي تم تعريفها، وتامة الشكل على مجمل المستوي العقدي.

يتم تعريف الدوال المثلثية الأخرى على أنها كسور الدوال بأكملها، ويمكن أن تُمدّد إلى دوال جزئية الشكل، هذه هي الدوال التي تكون كاملة الشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأقطاب. هنا، الأقطاب هي أرقام من الشكل ${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$ بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو $k\pi$ بالنسة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، حيث k هو عدد صحيح كيفي.

يمكن أيضًا حساب العلاقات الارتدادية لمعاملات متسلسلة تايلور للدوال المثلثية الأخرى. هذه المتسلسلات لها نصف قطر التقارب منتهية. معاملاتهم لها تفسير توافقي: فهي تُعدّد التبديلات بالتناوب للمجموعات المنتهية.

متسلسلات القوة لباقي الدوال

الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع اللتان هي غير معرفة عند π/2 (أو ° 90)، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي من -π/2 و π/2. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام اللتان هي غير معرفة عند الصفر ، فإن مجال تعريف متسلسلاتهم هي من 0 إلى π.

بتعبير أدق، نعرف:

U_n، هو عدد أعلى/أسفل (Up/down number) من الرتبة n.

B_n، هو عدد بيرنولي من الرتبة n.

و E_n، هو عدد أويلر من الرتبة n.

• ظل الزاوية:

${\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

• قاطع التمام:

${\begin{aligned}\csc x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

• قاطع الزاوية:

${\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

• ظل التمام:

${\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}$

هناك تمثيل متسلسلات كتحليل كسري جزئي، حيث يتم تجميع دوال المقلوب المزاحة فقط، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:

$\pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}$

يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة خدعة هرغلوتز (Herglotz).

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يتم استخدام عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم حدود الخطأ. يُعرَّف حد الخطأ من الرتبة n لسلسلة بواسطة:

$R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},a<c<x$

متسلسلة الجداء اللانهائي

الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل العقدي:

$\sin z=z\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .$

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:

$\cos z=\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .$

العلاقة بدالة الأس وبالأعداد العقدية

تمثيل عدد مركب في الإحداثيات القطبية

يمكن أن يُبين من خلال التعريفات باستعمال المتسلسلات بأن دالتي الجيب والجيب التمام هما الجزء العقدي والجزء الحقيقي على التوالي، لدالة الأس المطبقة على الأعداد العقدية، حين يكون مدخلها عددا تخيليا صرفا:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,$

حيث تشير i إلى الوحدة التخيلية.

تسمى هاته المتطابقة بصيغة أويلر. هكذا، تصير الدوال المثلثية مركزية وأساسية في الفهم الهندسي للتحليل العقدي.

إثبات: لتكن $f_{1}(x)=\cos x+i\sin x$، و$f_{2}(x)=e^{ix}$. لدينا ${\textstyle {\frac {d}{dx}}f_{j}(x)=if_{j}(x)}$ من أجل j = 1, 2. تستلزم قاعدة ناتج القسمة بأن ${\textstyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}\right)=0}$. إذن، ${\textstyle {\frac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}}$هي عبارة عن دالة ثابتة، التي تساوي 1، و$f_{1}(0)=f_{2}(0)=1$.

لدينا:

${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}$

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض المتطابقات المثلثية، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\;$

$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\;$

يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية العقدية. رياضيا:

$\cos \theta =\operatorname {Re} (e^{i\theta })$

$\sin \theta =\operatorname {Im} (e^{i\theta })$

يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر بصيغة دي موافر:

$e^{in\theta }=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )$

باستخدام المعادلات الدالية

يمكننا أيضا تعريف الدوال المثلثية باستخدام المعادلات الدالية المختلفة.

مثلا، الجيب وجيب التمام هما دالتان من الدوال المستمرة الوحيدة التي تحقق صيغة الفرق:

$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,$

بشرط أن تكون $0<x\cos x<\sin x<x$ من أجل $0<x<1$.

في المستوي المركب

  يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام لعدد مركب بدالتي الجيب وجيب التمام الحقيقيان والدوال الزائدية كما يلي:

${\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}$

بأخذ ميزة تلوين المجال، من الممكن أن نمثل بيانيا الدوال المثلثية كدوال ذات قيم عقدية (مركبة). يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال العقدية من الرسم البياني؛ على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنها غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو أقطاب بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. توضح مقارنة هذه الرسومات البيانية مع تلك الدوال الزائدية المقابلة العلاقات بين الاثنين.

تمثيل الدوال على المستوى العقدي:

$\sin z\,$	$\cos z\,$	$\tan z\,$	$\cot z\,$	$\sec z\,$	$\csc z\,$

المتطابقات الأساسية والخصائص

طالع أيضًا: قائمة المتطابقات المثلثية

هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية، لمزيد من المتطابقات، طالع قائمة المطابقات المثلثية. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من تعريفات دائرة الوحدة أو تعريفات المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات حساب التفاضل والتكامل، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة، بطريقة تشبه تلك الموجودة في إثبات متطابقة أويلر أعلاه. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية العقدية واستخدام خصائص الدالة الأسية.

متطابقة فيثاغورس

تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، لتكن $x$، مع مربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,\,$

يجب الانتباه إلى أن الترميز sin² x + cos² x يكافئ sin x)² + (cos x)²).

زوجية وفردية

المقالة الرئيسة: دوال زوجية ودوال فردية

الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتناظر.

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي دوال فردية، بتعبير آخر:

${\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}$

دورية

المقالة الرئيسة: دالة دورية

الدوال المثلثية كلها دوالٌ دوريةٌ أصغر دورة لها هي 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دورة لها هي π، بتعبير آخر، من أجل عدد صحيح k، لدينا:

${\begin{aligned}\sin(x+2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+k\pi )&=\tan x\\\cot(x+k\pi )&=\cot x\\\csc(x+2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+2k\pi )&=\sec x.\end{aligned}}$

صيغ المجموع والفرق

تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق الزاويتين بدلالة الجيب وجيب التمام والظل الزوايا نفسها.

المجموع

${\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}$

الفرق

${\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}$

عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

${\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}$

يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء.

بوضع $\theta =2x$ و$t=\tan x,$ هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ $\theta$ كدالة كسرية لـ ${\textstyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}$

${\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}$

بالإضافة إلى $d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt$

هذا هو تعويض فايرشتراس (Weierstrass)، الذي يسمح بتقليص حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.

تعامد

تعتبر دالتا الجيب وجيب التمام دالتان متعامدتان (Orthogonals)، بتطبيق معادلة ستورم-ليوفيل:

$\int _{0}^{2\pi }\cos n\theta \sin m\theta \,d\theta =0.$

${\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\cos n\theta \cos m\theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l l}0&\quad n\neq m\\1&\quad n=m\end{array}}\right.$

$\int _{0}^{2\pi }\sin m\theta \sin n\theta \,d\theta =0\quad (n\neq m).$

تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.

تحويلا لابلاس وفورييه

تحويل لابلاس هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلات لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

• تحويل الجيب:

${\mathcal {L}}\{\sin(at)\}={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$

• تحويل جيب التمام:

${\mathcal {L}}\{\cos(at)\}={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}$

^{(ملاحظة 3)}

تحويلات فورييه لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

• الجيب:

${\mathcal {F}}\{\sin(at)\}={\frac {\displaystyle \delta \left(\omega -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\omega +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}$

• جيب التمام:

${\mathcal {F}}\{\cos(at)\}={\frac {\delta \left(\omega -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\omega +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$

^{(ملاحظة 4)}

علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة

يمكن كتابة بعض الدوال الخاصة بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

• دالة بيسل من الرتبة 1/2: دالة بيسل هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-a^{2})y=0$

حيث يمثل a الرتبة. حل هذه المعادلة هو متسلسلة قوة.  يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) كدوال مثلثية على النحو التالي:

$J_{1/2}={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin x$

$J_{-1/2}={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos x$

• متعدد الحدود لشيبيشيف: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

$(1-x^{2})y''-xy'+n^{2}y=0$

حيث تمثل n رتبتها.

يمكن كتابة كثير الحدود تشيبيشيف من الرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:

$T_{n}=\cos(n\arccos x)$

مبرهنة الساندويتش

طالع أيضًا: معضلة الساندويش لفيرما

تساعد هذه المبرهنة في حساب النهايات الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال $-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}$، هي كما يلي:

$\cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1$

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$. تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية.

المتباينات المشابهة هي كما يلي:

${\frac {2}{\pi }}x\leq \sin x\leq x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}.$

$x\leq \tan x\qquad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}.$

$x<{\frac {\sin(\pi x)}{x(1-x)}}\leq 4\qquad 0\leq x\leq 1.$

الدوال العكسية

المقالة الرئيسة: دوال مثلثية عكسية

الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست تباينية، وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. لهذا السبب، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها من أجل تعريف دالة عكسية، حتى تكون الدوال المثلثية دوالا تقابلية.

الدالة	التعريف	مجال التعريف	المجال المقابل
$\arcsin x=y\,$	$\sin y=x\,$	$-1\leq x\leq 1\,$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\,$
$\arccos x=y\,$	$\cos y=x\,$	$-1\leq x\leq 1\,$	$0\leq y\leq \pi \,$
$\arctan x=y\,$	$\tan y=x\,$	جميع الاعداد الحقيقية	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\,$
$\operatorname {arccsc} x=y\,$	$\csc y=x\,$	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0\,$
$\operatorname {arcsec} x=y\,$	$\sec y=x\,$	$x\leq -1$ أو $x\geq 1$	$0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}}\,$
$\operatorname {arccot} x=y\,$	$\cot y=x\,$	جميع الاعداد الحقيقية	$0<y<\pi \,$

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

$\arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \,.$

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة اللوغاريتمات العقدية. طالع دوال مثلثية عكسية لمزيد من التفاصيل.

تطبيقات

قانون الجيب

رسم توضيحي لكيفية حساب جيب زاوية مقدارها 30 درجة باستخدام مثلث متساوي الأضلاع.

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص قانون الجيب على ما يلي:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}}$

حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,$

حيث يشير R إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

قانون جيب التمام

يعتبر قانون جيب التمام امتدادًا لنظرية فيثاغورس. ويسمى أيضا مبرهنة الكاشي.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,\,$

وقد تكتب هاته الصيغة كما يلي:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

في هذه الصيغة، الزاوية عند النقطة C تقابل الضلع c. يمكن إثبات هذه النظرية بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام نظرية فيثاغورس.

يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام زاوية (وبالتالي الزوايا نفسها) إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

قانون الظل

المقالة الرئيسة: قانون الظل

منحنى ليساجو، كُوّن هذا الشكل باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية.

ليكن ABC مثلث، تنص الأشكال الاربعة لقانون الظل على ما يلي:

${\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {A-C}{2}}}{\tan {\frac {A+C}{2}}}}={\frac {a-c}{a+c}}\,;\qquad {\frac {\tan {\frac {B-C}{2}}}{\tan {\frac {B+C}{2}}}}={\frac {b-c}{b+c}}.$

حيث a=BC وb=AC وc=AB.

قانون ظل التمام

المقالة الرئيسة: قانون ظل التمام

ليكن ABC مثلث، ينص قانون ظل التمام على ما يلي:

${\frac {\cot({\tfrac {A}{2}})}{p-a}}={\frac {\cot({\tfrac {B}{2}})}{p-b}}={\frac {\cot({\tfrac {C}{2}})}{p-c}}={\frac {1}{r}},$

حيث a=BC وb=AC وc=AB، وتشير p إلى نصف محيط المثلث وr نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث.

علو المباني

من أبسط تطبيقات الدوال المثلثية هي قياس علو مبنى أو ناطحة السحاب.

لقياس علو مبنى a، لا نحتاج للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا، بل يكفي معرفة زاوية الارتفاع ${\widehat {BAC}}$ التي تصنعها الشمس وقياس طول الظل b.

على سبيل المثال، نعتبر المسافة $AC=30\ m$ وزاوية الارتفاع ${\widehat {BAC}}=40^{\circ }$ .

نعلم أن: $\tan {\widehat {BAC}}={a \over b}$

إذن، علو المبنى a هو:

${\begin{aligned}a&=\tan {\widehat {BAC}}\times b\\a&=\tan 40^{\circ }\times 30\\a&=25.17\ m\end{aligned}}$

حساب المتجهات

في الرياضيات والفيزياء، تُستخدم المتجهات لتمثيل كمية المتجه (التي لها حجم واتجاه) وبالاخص في الفيزياء مثل تمثيل القوة والسرعة. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب الجداء القياسي لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |$

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب مقدار الضرب المتجهي:

$\parallel \mathbf {x} \times \mathbf {y} \!\!\parallel =\det(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sin \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |$

حيث $\det(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ هو محدد المتجهتين $\mathbf {x}$ و$\mathbf {y}$.

الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية

تمثيل نقطتين في نظام الإحداثيات القطبية

الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد نظام الإحداثيات القطبية الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في نظام الإحداثيات الديكارتية)، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:

$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات الأسطوانية والكروية، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل تكاملات ثلاثية الأبعاد لها تناظر أسطواني أو كروي.

الدوال الدورية

صورة للتركيب الإضافي (Additive synthesis) لموجة مربعية مع عدد متزايد من التوافقيات

يمكن أن تشكل دوال القاعدة الجيبية (أسفل) موجة سن المنشار (أعلى) عند إضافتها. جميع دوال القاعدة لها عقد (Nodes) في عقد من سن المنشار ما عدا الأساسية (k = 1) التي لديها عقد إضافية. يسمى التذبذب الذي شوهد حول سن المنشار عندما يكون k كبيرًا بظاهرة Gibbs .

الدوال المثلثية مهمة أيضا في الفيزياء. على سبيل المثال، يتم استخدام جيب التمام وجيب التمام لوصف الحركة التوافقية البسيطة، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة بنابض، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، الحركة الرقاصية للكتلة المعلقة بواسطة خيط. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية منتظمة.

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجة المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو موجات الضوء. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية.

في ظل ظروف عامة إلى حد ما، يمكن التعبير عن دالة دورية f(x) كمجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في متسلسلات فورييه.

نرمز لدوال القاعدة للجيب أو جيب التمام بالرمز φ_k، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

$f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t)$

على سبيل المثال، يمكن كتابة الموجة المربعية كمتسلسلة فورييه:

$f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.$

في الرسوم المتحركة لموجة مربعية في أعلى اليسار، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما. يظهر التراكب لعدة حدود في توسيع موجة سن المنشار تحتها.

الفيزياء الميكانيكية

في الفيزياء الميكانيكية، تُطبق الدوال المثلثية على معادلات الحركة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في الحركيات والديناميكيات الدورانية، ومعادلات الزخم والزخم الزاوي، وظواهر التصادم، نستخدم فيها دوال مثلثية.

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة حركة جسم موضوع على سطح منحدر وظاهرة حركة القذيفة.

البصريات

انكسار الضوء.

التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في علم البصريات هو قانون سنيل. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

${\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

حيث:

• θ1: زاوية سقوط الموجة، θ2: زاوية انكسار الموجة.
• v1: سرعة الضوء في الوسط الأول، v2: سرعة الضوء في الوسط الثاني.
• n1: معامل الانكسار للوسط الأول، n2: معامل الانكسار للوسط الثاني

بالإضافة إلى انكسار الضوء، تُستخدم الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل تداخل الموجات والاستقطاب والحيود.

الملاحة

تستخدم الدوال المثلثية في مجالات الملاحة المختلفة. على سبيل المثال، يتم ضبط مسار السفن والمركبات المائية الأخرى بناءً على أشياء ثابتة مثل المنارة باستخدام دوال مثلثية. تستخدم المعادلة التالية لحساب هذه المسافة:

$s=R\arccos(\sin \alpha _{1}\sin \alpha _{2}+\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}\cos \varphi )$

حيث:

• α1 وα2 هما خطا عرض النقطتين المرغوبة.
• φ هو فرق خط الطول بين النقطتين.
• R هو نصف قطر الأرض.

الكهرباء والاتصالات

تمثيل دورة واحدة لنظام ثلاثي الطور من 0° إلى 360° (2π راديان) على طول المحور الزمني.  يمثل المنحنى اختلاف الجهد اللحظي (أو التيار) بدلالة الزمن. تتكرر هذه الدورة بتردد يعتمد على نظام القدرة الكهربائية.

حاليا، تستخدم التيارات المترددة (المتناوبة) التي تأخذ شكل موجة جيبية على نطاق واسع في صناعة الطاقة الكهربائية. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتردد على التيار المستمر في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام المحولات، والتي يمكن أن تقلل من خسائر نقل الكهرباء لمسافات طويلة، وإمكانية عدم استعمال المبادل في المولدات.

تولد محطات توليد الكهرباء غالبًا على ثلاث أطوار (انظر الصورة). يمكن وصف تغير التيار المتردد بتلك المعادلات: $v=V_{m}\sin(\omega t+\theta _{v})$ و $i=I_{m}\sin(\omega t+\theta _{i})$ وبالتالي يتم حساب وتحديد علاقات مختلفة مثل القدرة اللحظية ، القدرة الفعالة، القدرة المفاعلة، ... إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور (Phase leading)، وتأخر الطور (Phase lagging) وزاوية القدرة (Power Angle) ومعامل القدرة، ...، من خلال تحليل الدوال المثلثية. الكهرباء الموفرة للمنازل هي موجة جيبية وعموما بترددات 50 أو 60 هرتز.

نبذة تاريخية

تمثيل الدوال هندسيا.

صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جداول رياضية.

على الرغم أن الدراسات الأولى لعلم المثلثات تعود إلى العصور القديمة. ولكن الدوال المثلثية، كما تُعرف حاليا، طُورت في العصور الوسطى. على سبيل المثال، تم اكتشاف دالة الوتر (Chord، يشار إليها بـ crd (x)) من قبل هيبارخوس (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس عالم يوناني مصري عندما كانت مصر مقاطعة رومانية (90-165م). يمكن إسناد دالتا جيب وسهم الزاوية (1 - جيب تمامه) إلى الدالتين jyā وkoti-jyā المستخدمة في علم الفلك الهندي للحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ومن العربية إلى اللاتينية.

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حلحلة المثلثات . باستثناء دالة الجيب التي اعتمدت من الرياضيات الهندية، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الخمس الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك جيب التمام، الظل، ظل التمام، القاطع وقاطع التمام. أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول لدوال الجيب والجيب التمام والظل وحتى الجداول الفلكية. في حوالي عام 830، اكتشف أحمد بن عبد الله المروزي ظل التمام، وأنتج جداول الظل وظل التمام. اكتشف محمد بن جابر البتاني (853–929) الدوال المقلوبة: القاطع وقاطع التمام، وأنتج الجدول الأول لقواطع التمام لكل درجة من 1° إلى 90°. في القرن العاشر، اعتمد أبو الوفاء البوزجاني قانون الجيب. استخدم أبو ريحان البيروني التثليث لتحديد المسافات. في نهاية القرن الحادي عشر، حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة عن طريق تقريب الحل العددي الذي تم الحصول عليه عن طريق استيفاء الجداول المثلثية. قام غياث الدين الكاشي أيضًا في القرن الخامس عشر بحساب جيب الزاوية 1° عن طريق حل معادلة من الدرجة الثالثة التالية: $\sin 3\phi =3\sin \phi -4\sin ^{3}\phi \,\!$، هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بصيغة فييت ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من أكتشف تلك الصيغة.

درست هذه الدوال من طرف علماء من أمثال بهاسكارا الثاني في القرن الثاني عشر ونصير الدين الطوسي في القرن الثالث عشر وأولوغ بيك في القرن الخامس عشر وريجيومونتانوس الألماني في القرن الخامس عشر وجورج شواكيم ريتيكوس في القرن السادس عشر وتلميذه فالنتينوس أوتو الألمانيين في القرن السادس عشر.

قام مادهافا السنغماراي (في حوال عام 1400) بتطويرات مبكرة ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية.

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد في القرن السادس عشر لأول مرة الاختصارات sin، وcos، وtan في كتابه "Trigonométrie".

أُدخِلت المصطلحات "Tangent" و"Secant" لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه "Geometria rotundi".

في مقال نُشر عام 1682، برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب sin x ليست بدالة جبرية ل x.

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها كمتسلسلات لانهائية وتقديم صيغة أويلر، وعرفها كذلك كاختصارات شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).

هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر، السهم (Versine)، سهم التمام (Coversine)، نصف السهم (Haversine)، القاطع الخارجي (Exsecant) وقاطع التمام خارجي (excosecant).

• crd(θ) = 2 sin(θ/2)
• versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin²(θ/2)
• coversin(θ) = 1 − sin(θ) = versin(π/2 − θ)
• haversin(θ) = 1/2versin(θ) = sin²(θ/2)
• exsec(θ) = sec(θ) − 1
• excsc(θ) = exsec(π/2 − θ) = csc(θ) − 1

أصل تسمية الدوال

استُمِدّت الكلمة الانجليزية "Sine" ^{(ملاحظة 1)} من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني "إنحناء، خليج"، وبشكل أكثر تحديداً "الطية المعلقة للجزء العلوي لِتُوجة"، "طوق الثوب"، التي تم اختيارها على أنها ترجمة لِمَا تم تفسيره على أنه ترجمة الكلمة العربية الفصيحة "جَيْب" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى.^{(ملاحظة 2)} كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية "جِيب" والتي نشأت في حد ذاته كنقحرة للكلمة السنسكريتية jīvā - ज्या التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها jyā (المصطلح السنسكريتي لدالة الجيب) إلى "وتر القوس".

أما عن كلمة "Tangent"، فقد أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني "يمُس"، لأن المستقيم يمس دائرة الوحدة، أما عن الاسم العربي للدالة "ظل"، فقد استعمل لوصف مقدار ما يصنعه عقرب المزولة من ظله أثناء سقوط الضوء عليه بزاوية معينة، فسميت مجازًا بالظل.

بينما استمدت كلمة secant من اللاتينية "secans" التي تعني "يقطع" لأن المستقيم يقطع الدائرة، هذه التسمية تقابلها بالعربية "قاطع".

أما عن بادئة "co-" (Cosine، Cotangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لـ sinus complementi الذي يقابله بالعربية "جيب التمام" (معناه "جيب الزاوية المتممة").

التمثيل البياني للدوال المثلثية

• 
  بيان للعلاقة بين دالتي الجيب (باللون الأحمر) وجيب التمام (باللون الأخضر).
• 
  التمثيل البياني لدالة الظل.
• 
  الدوال المثلثية: الجيب، جيب التمام، الظل، قاطع التمام (منقط)، القاطع (منقط)، ظل التمام (منقط).

انظر أيضاً

• جداول مثلثية
• دوال زائدية
• قائمة المطابقات المثلثية
• صيغة أويلر
• الدوال الإبتدائية

هوامش وملاحظات

ملاحظة 1: تم تدوين الشكل الانجليزي لأول مرة عام 1593 في الكتاب Horologiographia الخاص بـ Thomas Fale.

ملاحظة 2: هناك مصادر مختلفة أنسبت الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:

• إما ترجمة أفلاطون تيبورتينوس في عام 1116 لأعمال البتاني الخاصة بعلم الفلك.
• أو ترجمة جيراردو الكريموني لجبر الخوارزمي
• أو ترجمة روبرت أوف تشستر سنة 1145 لجداول الخوارزمي

طالع:، أو: ، أو:

ملاحظة 3:حيث: a هو ثابت حقيقي. s هو عدد مركب.

ملاحظة 4: حيث:

• $\omega$ هي السرعة الزاوية.
• $\delta (\cdot )$ هي دالة ديراك.
• $i$ هي الوحدة التخيلية.

مراجع

فهرس المراجع

معلومات الكتب كاملة

• Lars Ahlfors (1966). Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (ط. الثانية). New York: McGraw-Hill Education.
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (ط. الثانية). John Wiley & Sons, Inc.
• Gal, Shmuel؛ Bachelis, Boris (1991). An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software.
• Joseph, George G (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (ط. الثانية). London: Penguin Books.
• Kantabutra، Vitit (1996). "On hardware for computing exponential and trigonometric functions". IEEE Trans. Computers. IEEE: 328–339. {{استشهاد بدورية محكمة}}: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |month= (مساعدة)
• Maor, Eli. Trigonometric Delights (ط. 1998). Princeton Univ. Press.
• Needham, Tristan (1999). Preface to Visual Complex Analysis (PDF). Oxford University Press. {{استشهاد بكتاب}}: الوسيط غير المعروف |مسار2= تم تجاهله (مساعدة)
• Nielsen، Kaj L. (1966). "Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places" (ط. الثانية). New York, USA: Barnes & Noble. LCCN:61-9103. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الاستشهاد بدورية محكمة يطلب |دورية محكمة= (مساعدة) ويحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |month= (مساعدة)
• O'Connor, J. J.؛ E. F. Robertson (1996). Trigonometric functions. MacTutor History of Mathematics archive.
• O'Connor, J. J؛ E. F. Robertson (2000). Madhava of Sangamagramma. MacTutor History of Mathematics archive. مؤرشف من الأصل في 2019-08-25.
• Pearce, Ian G (2002). Madhava of Sangamagramma. MacTutor History of Mathematics archive. مؤرشف من الأصل في 2019-07-02.
• Protter، Murray H؛ Morrey، Charles B., Jr (1970). "College Calculus with Analytic Geometry" (ط. الثانية). Reading: Addison-Wesley. LCCN:76087042. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الاستشهاد بدورية محكمة يطلب |دورية محكمة= (مساعدة) ويحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: |month= (مساعدة)صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)
• Weisstein, Eric W. Tangent. from MathWorld. مؤرشف من الأصل في 2019-12-30. اطلع عليه بتاريخ 2006-01-21. {{استشهاد بكتاب}}: استعمال الخط المائل أو الغليظ غير مسموح: |ناشر= (مساعدة)

وصلات خارجية

Visionlearning Module on Wave Mathematics (بالإنجليزية)

• الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية (PDF) (بالعربية)
• استعمالات الدوال المثلثية في الهندسة الكهربائية (PDF) (بالعربية)