معادلة تفاضلية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من معادلات تفاضلية)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية (بالإنكليزية: Differential equation) هي معادلة تحوي مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة. ويكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات. تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء والكيمياء، وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية والاجتماعية والاقتصادية.

تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا إحتوت المعادلة مشتقا أولا ومشتقا ثانيا فقط تعتبر من الرتبة الثانية وهكذا.

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى تحتوي على مشتقات أولي فقط.

وتعرف درجة المعادلة بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة.

التاريخ[عدل]

تاريخيا، درست معضلة اهتزاز حبل ما، حبل آلة موسيقية مثالا، من طرف كل من لورن دالمبير وليونهارت أويلر ودانييل برنولي وجوزيف لوي لاغرانج. في عام 1746، اكتشف دالمبير معادلة الموجة أحادية البُعد وبعد عشر سنين، اكتشف أويلر معادلة الموجة ثلاثية الأبعاد.

طورت معادلة أويلر-لاغرانج في العقد الذي يلي 1750 من طرف كل من أويلر ولاغرانج في ارتباط مع دراستهما لمعضلة التوتوكرون.

مثال[عدل]

في الفزياء المعادلة التفاضلية التي يحققها التوثر بين مربطي المكثف اثناء الشحن (الدارةRC) RC U'c(t)+Uc(t)=E

لدينا الحل العام يكتب على شكل: Uc(t)=Ae^(-mt)+B ~تحديد.الثابثتين mوB

لدينا: Uc'(t)=(Ae^(-mt)+B)' =-Ame^(-mt)

لنعوض في المعادلة التفاضلية -RCAme(-mt)+Ae^(-mt)+B=E <==>Ae(-mt)(1-RCm)+B-E=0

الحل صالح مهما كانt و A يخالف 0

إذن: B-E=0

و 1-RCm=0. وبالتالي فإن B=Eوm=1/RC

إذن:

Uc(t)=Ae^(-t/RC)+E تحديد A حسب الشروط البدئية عند t=0 Uc(t=0)=0 إذن Ae^0+E=0

Uc(t)=E(1-e(-t/RC))

طرق حل المعادلات التفاضلية[عدل]

توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها:

  • بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبةالأولى:
  1. الفصل : و ذلك بفصل المتغيرات x,dx في جهة و y,dy في جهة أخرى في جانبي المعادلة و من ثم القيام بمكاملة الطرفين لتحصل على حل على شكل دالة عادية (y=f(x
  2. التعويض
  3. المعادلات الخطية
  4. برنولي
  • بعض الطرق المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة n :
  1. اختزال الرتبة.
  2. تحديد المعاملات.
  3. مبادلة المتغيرات
  4. طريقة كوشي-أويلر لحل المعادلات التي فيها رتبة المشتقة هو نفسه أس معاملها
  5. طريقة المتتابعات الأسية

ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي. كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم.

درجة المعادلة التفاضلية[عدل]

تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة، وهكذا دواليك.

أنواع المعادلات التفاضلية[عدل]

العادية والجزئية[عدل]

يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :

الخطية وغير الخطية[عدل]

كل من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية يمكن أن تصنف إلى خطية وغير خطية. وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :

  1. إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت.
  2. إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس، أي كلها من الدرجة الأولى.

وتكون غير خطية فيما عدا ذلك.

كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية، لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية.

معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى وليست معادلة خطية: n≠1  y'+ a(x)y = b(x)y^n\,

أمثلة[عدل]


Y(LNx)dy/dx=(y+1)^2/x
du/dx+(1+x)du/dx=(1+x+y)u^2

معادلات تفاضلية بارزة[عدل]

في الفيزياء والهندسة[عدل]

في علم الاحياء[عدل]

في الكيمياء[عدل]

انظر إلى تفاعل كيميائي وإلى معادلة معدل التفاعل.

في الاقتصاد[عدل]

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]