دائرة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من معادلة الدائرة)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
رسم توضيحي للدائرة يوضح القطر ونصف القطر والوتر وقوسا منها والمحيط.
مساحة الدائرة تساوي \pi r^2\, حيث r هو الشعاع.
Tycho crater, واحد من الأمثلة المتعددة حيث تظهر الدوائر في الطبيعة.
الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المشتركة معها في القوس.

الدائرة هي شكل بسيط في الهندسة الإقليدية. وتعرف بأنها المحل الهندسي للنقاط المتصلة ببعضها البعض والواقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، والتي تسمى مركز الدائرة. المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة وأي نقطة منها تسمى شعاعا أو نصف قطر.

الدوائر هي منحنيات بسيطة مغلقة تقسم المستوى إلى جزئين : داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي، قد يستعمل مصطلح دائرة للإشارة إلى محيط الدائرة، وقد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة، ولكن بمعنى أدق، فإن الدائرة هي المحيط فقط. أما مايوجد في الداخل، فهو قُرص.

الدائرة هي حالة خاصة من الإهليلج حيث تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة. الدائرة هي قطع مخروطي يُحصل عليه عندما يتقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محور هذا المخروط.

مصطلحات[عدل]

وتر وخط قاطع للقوس ومماس وقُطر وشعاع.
قوس وقطاع وقطعة
  • نصف قطر الدائرة (قد يسمى شعاعها) هو الخط المستقيم الواصل بين المركز وأي نقطة من الدائرة. أما القطر فهو وتر الدائرة المار من المركز وهو أطول أوتار الدائرة.
  • قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين من على سطح الدائرة وتمر بمركز الدائرة. وهو أكبر مسافة بين نقطتين اثنتين ما، تقعان على الدائرة. طول القطر هو ضعف طول الشعاع.
  • القوس هو جزء متصل من الدائرة.
  • القطاع هو المساحة المحبوسة بين شعاعين والقوس الذي يصل هذين الشعاعين.
  • الزاوية المركزية للدائرة هي الزاوية الذي يقع رأسها في مركز الدائرة.

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة ويكون ضلعاها وترين في الدائرة.

  • الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه.
  • الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد في الدائرة متساويتان.
  • الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي تسعين درجة.
  • وتر دائرة هو أي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين ما تنتميان إلى الدائرة. القطر هو أكبر وتر في الدائرة. مماس الدائرة هو مستقيم يمس (أو يتقاطع مع) الدائرة في نقطة وحيدة، بينما المستقيم القاطع للدائرة هو امتداد للوتر حيت يتقاطع معها في نقطتين اثنتين.
  • مركز الدائرة هو النقطة الثابتة المذكورة في التعريف أعلاه وهي تقع في منتصف الدائرة بالضبط وعادة مايرمز إليه بالرمز (م) نسبة إلى كلمة مركز.
  • مماس الدائرة هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط.

التاريخ[عدل]

بعض من الأعوام المهمة في تاريخ الدائرة :

الفرجار في هذا المخطوط الذي يرجع تاريخه إلى القرن الثالث عشر. هو رمز إلى الخلق. هالة القداسة هي أيضا دائرية الشكل.
دوائر في رسم فلكي عربي قديم
برج طغرل من الداخل

نتائج تحليلية[عدل]

محيط الدائرة[عدل]

للمزيد من المعلومات، انظر إلى بي.

عندما حاول العلماء القدامى، وعلى رأسهم غياث الدين الكاشي، اكتشاف قانون محيط الدائرة أحضروا دائرة مصنوعة من الخيط ثم فكوها وقاسوا الحبل فقالوا أن محيط الدائرة هو طول قطعة الخيط المفكوكة. وعند إعادة نفس العملية على دوائر أخرى، لوحظ أن النسبة بين محيط الدائرة (طول قطعة الخيط المفكوكة) على القطر ثابتة. أي باختصار، قسمة المحيط على قطر الدائرة يساوي نفس الناتج رغم اختلاف الدوائر ومحيطاتها وكانت النسبة تساوي تقريبا 3.141592654. وقد سُميت تلك النسبة ط بالعربية[بحاجة لمصدر] و π (باي) باللاتينية وقد وضحوا أنّه عندما يكون قطر دائرة مساوياً ل1، يكون محيطها مساويا ل π. محيط الدائرة يساوي طول القطر x ط (π). هذه النسبة (ط) التي بين المحيط وطول القطر ثابتة لاتتغير.

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل1، يكون محيطها مساويا ل π
C = 2\pi r = \pi d\,
مثال على محيط الدائرة

محيط دائرة قطرها 7 سم = ط × طول القطر ≈ 7/22 × 7 ≈ 22 سم.

مساحة الدائرة[عدل]

مساحة الدائرة تساوي : \pi × مساحة المربع الملون

كيف عرفوا المساحة دون أضلاع.

أحضروا دائرة من قطع ورق مقوى وقسموها إلى 8 أجزاء وقاموا لصق الأجزاء على صورة مستطيل بحيث يكون قطاع قوسه أعلى وآخر ملصوق به قوسه لأسفل وعندما قاسوا مساحة المستطيل وجدوا أن الطول يساوي نصف محيط الدائرة والعرض يساوي نصف القطر أي مساحة الدائرة = مساحة المستطيل المصنوع منها.

ومنه نجد أنّ مساحة الدائرة = نصف المحيط × نصف طول القطر (نق).

ولوضع هذا قانون بدلالة نصف القطر (نق)، نستطيع استخدام قانون (محيط الدائرة=ط × القطر).

وبالتعويض في قانون المساحة نجد:

مساحة الدائرة = 1/2(ط × القطر) × نق

نقوم بضرب ال1/2 بما داخل القوسين، فنحصل على

مساحة الدائرة = ط × 1/2القطر × نق

مساحة الدائرة = ط × نق × نق = ط × نق تربيع.

أي ما يقارب 22/7 أو 3.14 × القوة الثانية لطول نصف القطر (نصف القطر × نصف القطر).

\mathrm{Area} = \pi r^2.\,
\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,
مثال على مساحة الدائرة

مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 سم = ط × نق تربيع ≈ 3.14 × 10 × 10 ≈ 314 سم2.

الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يضم المساحة القصوى (أكبر مساحة) عندما يكون طول هذا المنحنى معروفا. هذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت.

معادلات[عدل]

الإحداثيات الديكارتية[عدل]

دائرة شعاعها r = 1، ومركزها (a, b) المساوي ل (1.2, -0.5)

في النظام الإحداثي الديكارتي، الدائرة ذات المركز الذي إحداثياته هي (a، b) وشعاعها هو r، هي مجموعة النقط (x، y) حيث :


\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.

هذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عندما تطبق على أي نقطة تنتمي إلى الدائرة، كما يبين الشكل يساره. الشعاع هو وتر المثلث و المسافتان x - a و y - b هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. إذا كان مركز الدائرة هو مركز المَعلم، فإن هاته المعادلة تصير أكثر بساطة كما يلي :

x^2 + y^2 = r^2.\!\

يمكن أن تكتب هاته المعادلة على شكل معادلة وسيطية (قد يطلق عليها اسم معادلة بارامترية) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:

x = a+r\,\cos t,\,
y = b+r\,\sin t\,

حيث t وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 و 2π. هندسيا، يمثل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين (a,b) و (x,y) مع محور الأفاصيل. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضا دائرة:

x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\,
y = b + r \frac{2t}{1+t^2}.\,

الإحداثيات القطبية[عدل]

في النظام الإحداثي القطبي، معادلة دائرة هي كما يلي:

r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2\,

حيث a هي شعاع الدائرة و (r, \theta) هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و (r_0, \phi) هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة.

المستوى العقدي[عدل]

في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة |z-c|^2 = r^2\,. وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي : z = re^{it}+c.

المستقيمات المماسة[عدل]

مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (P = (x1, y1, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين (a, b) و (x1, y1). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل

(x_1-a)x+(y_1-b)y = c

وبتعويض قيمة العددين x و y ب x1 و y1 على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:

(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1\,

أو

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2.\!\

الخصائص[عدل]

الوتر[عدل]

الوتر هو الخط الواصل بين أي نقطتين تقعان على المحيط.

المماس[عدل]

المستقيم الذي يمس الدائرة في نقطة، ونقطة فقط، من نقطها (أي أنه إذا قطع مستقيم ما دائرة ما في نقطتين مختلفتين، فإن هذا المستقيم ليس بمماس لهذه الدائرة).

مبرهنات[عدل]

انظر أيضا قوة نقطة.

استخدامات الدائرة[عدل]

تستخدم الدائرة في كل من :

  1. تمثيل البيانات على الدائرة بحيث تكون الدائرة 100% ويقومون بتقسيم الدائرة إلى قطاعات كبيرة أو صغيرة وكل قطاع يحمل بينة من البيانات المطلوبة.
  2. استخدامها في صناعة العجلات باعتبارها ليس لها نهاية وأنها أنسب شكل هندسي للعجلة حيث أنها كلها متصلة ببعضها باستقامة مما يجعل مشيها متناسق.
  3. استخدمه الفراعنة في صناعة خواتم الخطوبة لاعتبار الدائرة رمزا للبقاء وعدم الفناء ويضعونها في بنصرالإنسان لأنهم يقولون أن عرق يوصل للقلب وبه حياة الإنسان.

دائرة نصف قطرها صفر[عدل]

يظن كثير من علماء الحساب والهندسة الرياضية أن الدائرة التي يكون نصف قطرها يساوي صفرا هي النقطة، وهذا غير صحيح لكون الصفر لا يساوي أي شيء ولا يمكن تصور دائرة من لا شئ حتى في الهندسة التخيلية التي تبنى على الافتراض. فعند وضع قيمة ما بأنها تساوي صفرا فهذا يعني أنها غير موجودة أبدا سواءً في الحقيقة أو في الخيال لوجود الجزم بعدم وجودها نهائيا.

أنظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]