في الرياضيات ، مجموع تايلور أو متسلسلة تايلور (بالإنجليزية : Taylor series ) هو متسلسلة تمكن من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.
اخترع مفهوم متسلسلات تايلور بشكل رسمي عالم الرياضيات الأنجليزي بروك تايلور . وكان ذلك عام 1715.
تعريف [ عدل ] متسلسلة تايلور المنتهية [ عدل ] إذا اعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة
x
0
{\displaystyle {x}_{0}\!}
f
(
x
)
=
T
n
(
x
)
+
R
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!}
حيث
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)\!}
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
k
(
x
0
)
k
!
(
x
−
x
0
)
k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو
T
n
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
″
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
f
n
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
{\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}
و يمكن اعتبار متعدد الحدود
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)\,}
للدالة f في النقطة
x
0
{\displaystyle x_{0}}
متسلسلة تايلور اللامنتهية [ عدل ] إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_{n}(x)\!}
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
f
k
(
x
0
)
k
!
(
x
−
x
0
)
k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}
أو
T
n
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
1
!
(
x
−
x
0
)
+
f
″
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
{\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }
أمثلة [ عدل ]
تاريخ [ عدل ] دوال تحليلية [ عدل ]
التقارب وتقريب الخطأ [ عدل ] تعميم [ عدل ]
متسلسلة ماكلورين [ عدل ] إذا كانت
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\,}
ماكلورين :
T
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
f
k
(
0
)
k
!
x
k
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(0)}{k!}}x^{k}}
أو
T
n
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
1
!
x
+
f
″
(
0
)
2
!
x
2
+
⋯
+
f
n
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle T_{n}(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(0)}{n!}}x^{n}}
تطبيقات متسلسلة تايلور [ عدل ] لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق كثير الحدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسب متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الاعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرأ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.
بعض سلاسل ماكلورين لبعض الدوال المألوفة [ عدل ] فيما يلي بعضاً من منشورات ماكلورين.[1] المستوى العقدي ل x .
الدالة الأسية [ عدل ]
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
for all
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}
اللوغاريتم الطبيعي [ عدل ]
log
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
for
−
1
≤
x
<
1
{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}-1\leq x<1}
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
for
−
1
<
x
≤
1
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}-1<x\leq 1}
متسلسلات هندسية [ عدل ]
1
−
x
m
+
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
m
x
n
for
x
≠
1
and
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
متسلسلات هندسية لانهائية:
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}
متسلسلات هندسية [ عدل ]
x
m
1
−
x
=
∑
n
=
m
∞
x
n
for
|
x
|
<
1
and
m
∈
N
0
{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}
x
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
1
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
−
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
الجذر التربيعي :
1
+
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
−
2
n
)
(
n
!
)
2
(
4
n
)
x
n
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
1
16
x
3
−
5
128
x
4
+
…
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots {\text{ for }}|x|\leq 1}
متسلسلة كثيرة حدود (متضمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
for all
|
x
|
<
1
and all complex
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\text{ and all complex }}\alpha \!}
(
α
n
)
=
∏
k
=
1
n
α
−
k
+
1
k
=
α
(
α
−
1
)
⋯
(
α
−
n
+
1
)
n
!
{\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}
دوال مثلثية [ عدل ]
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
for all
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
⋯
for all
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
x
3
3
+
2
x
5
15
+
⋯
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
حيث Bs هي أعداد بيرنولي .
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
arcsin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
arccos
x
=
π
2
−
arcsin
x
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
arctan
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
دوال زائدية [ عدل ]
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
⋯
for all
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
⋯
for all
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
315
x
7
+
⋯
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
a
r
s
i
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}
حساب متسلسلة تايلور [ عدل ] المثال الأول [ عدل ]
المثال الثاني [ عدل ] في التحليل الرياضي، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة.
المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :
e
x
≈
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
+
x
N
N
!
.
{\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{N}}{N!}}.}
مثال ثالث [ عدل ]
تعاريف لمتسلسلة تايلور [ عدل ]
متسلسلة تايلور بعدة متغيرات [ عدل ]
مقارنة مع متسلسلة فورييه [ عدل ]
انظر أيضا [ عدل ] مراجع [ عدل ] 
انظر أيضًا: قائمة المتسلسلات الرياضياتية
